Stage Senior 2012

[snake]

@nassus hai provato a scaricarli? anzichè aprirli, fai salva con nome

Forse sono un po' impedito ma mi spieghi come faccio a scaricare i video.
Vado in questa pagina --> http://olimpiadi.dm.unibo.it/videolezio ... 12%2FVideo <-- e non trovo modo di scaricarli.
Se schiaccio sopra e li apro, oltre a stare un'eternità a caricarsi, alla fine mi compare il solito birillo (o quello che è) bianco ed arancione e poi non succede niente.
Forse sbaglio pagina web, non lo so, prova a darmi una mano, grazie

Prova come ho fatto io: disinstalla VLC e gli altri programmi che hai detto di aver installato per vedere il video online. Al click, invece di tentare di visualizzarli dovrebbe scaricarli in automatico. Quando hai finito, reinstalla pure quello che vuoi.

[Anér]

Credo che tu debba cliccare con il tasto destro sul pulsante e scegliere "Salva oggetto con nome" o "Salva link con nome" o qualcosa di simile.
Una volta salvato il video sul tuo hard disk non dovresti più avere problemi a vederlo.

[nassus95]

Finalmente sono riuscito ad aprire quei video
Andavano bene tutti e due i metodi, grazie ad entrabbi

[kalu]

domanda noiosa: è meglio mostrare di aver capito le tecniche utilizzate al preimo o mostrare di avere un minimo di inventiva scrivendo soluzioni più elementari? Esempio: per risolvere il quarto problema di geometria si parla di coordinate trilineari, di simmediane, del punto di Lemoine e di altre cose tendenti al delirante. Sicuramente è stata scelta una soluzione del genere perchè molto più istruttiva e interessante di altre più "ordinarie": è positivo oppure no scrivere una soluzione facile e noiosa trovata da sè? (ho fatto l'esempio del G4 ma parlo in generale)
Inoltre: dovendo invece utilizzare qualcosa di particolare e poco noto (--> non presente sulle schede) spiegato in video (esempio: teoremi sui birapporti, circonferenza di Avogadro, equazione di Pell, lemma di hensel, teorema di Weierstrass, altro), cosa bisogna fare? 1) limitarsi a citare il teorema/lemma/altro, 2)definirlo/enunciarlo in modo chirao e completo, 3)dimostrarlo
Grazie

[Goomonryong]

...Non riesco a trovare il pdf del G4. Qualcuno sa dove posso reperirlo?

[Il_Russo]

domanda noiosa: è meglio mostrare di aver capito le tecniche utilizzate al preimo o mostrare di avere un minimo di inventiva scrivendo soluzioni più elementari? Esempio: per risolvere il quarto problema di geometria si parla di coordinate trilineari, di simmediane, del punto di Lemoine e di altre cose tendenti al delirante. Sicuramente è stata scelta una soluzione del genere perchè molto più istruttiva e interessante di altre più "ordinarie": è positivo oppure no scrivere una soluzione facile e noiosa trovata da sè? (ho fatto l'esempio del G4 ma parlo in generale)
Inoltre: dovendo invece utilizzare qualcosa di particolare e poco noto (--> non presente sulle schede) spiegato in video (esempio: teoremi sui birapporti, circonferenza di Avogadro, equazione di Pell, lemma di hensel, teorema di Weierstrass, altro), cosa bisogna fare? 1) limitarsi a citare il teorema/lemma/altro, 2)definirlo/enunciarlo in modo chirao e completo, 3)dimostrarlo
Grazie

L'importante è che la soluzione sia corretta, poi che coincida con quella fatta a lezione è secondario.

Per quanto riguarda i lemmi poco noti, lo lasciamo alla tua sensibilità, ma forse è meglio buttare giù una breve dimostrazione.

[Anér]

@ kalu: Ricordati di enunciare bene ipotesi e tesi di tutti i teoremi che usi.
@ Goomonryong: Trovi il G4 nella seconda pagina di questo documento http://olimpiadi.dm.unibo.it/videolezio ... 012_GM.pdf
(non sempre durante la correzione si procede secondo l'ordine di consegna dei problemi).

[Goomonryong]

@ Anèr ti ringrazio.

[scambret]

Non so se è la sezione corretta, ma nel quesito A3 per il Senior dice di determinare i polinomi $ f $ e $ g $ tali che $ (x^2+x+1)f(x^2-x+1)=(x^2-x+1)g(x^2+x+1) \forall x \in \mathbb{R} $. Nel risolvere il quesito, però, si suppone $ f(x)=xf'(x) $ perchè per un certo valore $ \alpha \in \mathbb{C} $ il RHS si annulla, mentre il LHS rimane $ (2 \cdot \alpha)f(x^2-x+1) $. Il problema è che l'ipotesi suppone che l'uguaglianza sia vera per tutti i reali, ma non parla dell'uguaglianza nei complessi. Ho frainteso io?? grazie mille

[snake]

Non so se è la sezione corretta, ma nel quesito A3 per il Senior dice di determinare i polinomi $ f $ e $ g $ tali che $ (x^2+x+1)f(x^2-x+1)=(x^2-x+1)g(x^2+x+1) \forall x \in \mathbb{R} $. Nel risolvere il quesito, però, si suppone $ f(x)=xf'(x) $ perchè per un certo valore $ \alpha \in \mathbb{C} $ il RHS si annulla, mentre il LHS rimane $ (2 \cdot \alpha)f(x^2-x+1) $. Il problema è che l'ipotesi suppone che l'uguaglianza sia vera per tutti i reali, ma non parla dell'uguaglianza nei complessi. Ho frainteso io?? grazie mille

Se ho compreso la ragione del tuo dubbio:
$ \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $

[scambret]

Appunto quindi se fosse stato $ \forall x \in \mathbb{C} $ sarebbe filato, ma se l uguaglianza è soddisfatta solo per i reali non è detta che è soddisfatta anche per i complessi.

Edit: al G4 dice siano $ B_1 $ e $ C_1 $ definiti SIMILMENTE. Di quale circonferenze sono centri?

[xXStephXx]

Ho un dubbio nel C5. Ci sono delle n-uple per esempio $ (-1,-1,-1,...,-1,-1) $ oppure $ (-1,1,-1,1,...,-1,1) $ che diventano superforti indipendentemente dal numero di elementi. Nel primo esempio tutte le n-uple formate da soli $ -1 $, mentre nel secondo esempio tutte le n-uple aventi un numero pari di elementi dove si alternano un $ -1 $ ed un $ 1 $. Da quel che ho capito, se una n-upla ha $ 2^k $ elementi sicuramente diventa superforte, ma in caso contrario come si fa?

[Anér]

Intanto rispondo alla prima domanda di scambret: effettivamente si chiede di trovare f e g sapendo che per ogni x reale vale quell'uguaglianza; dimostra allora che se due polinomi in x sono uguali per tutti i reali (bastano anche infiniti valori di x, anzi uno in più del massimo grado dei due polinomi) allora sono uguali come polinomi formali, ovvero hanno gli stessi coefficienti. Se poi due polinomi sono uguali, saranno uguali i loro valori calcolati in ogni x complesso. Formalizzando meglio:
1)Se f(x) e g(x) soddisfano l'uguaglianza per tutti i reali, allora quell'uguaglianza vale formalmente per i singoli coefficienti dei vari termini $x^k$, ovvero sono uguali proprio i polinomi, e non solo le loro valutazioni in ogni x reale (il fatto più generale è che se p(x) e q(x) sono due polinomi a coefficienti in un campo (ad esempio i reali), hanno grado minore o uguale a n e hanno lo stesso valore per n+1 valori diversi di x nel campo, allora sono proprio uguali come polinomi; se poi ne hai infiniti di valori di x, tanto meglio, riesci a controllare i gradi di p e q senza saperli; per dimostrarlo si usa che p-q o è il polinomio nullo oppure non può avere n+1 radici distinte, avendo grado al più n in quanto differenza di polinomi con grado al più n).
2) Se l'uguaglianza vale tra i polinomi, essa vale anche con gli stessi polinomi f e g in cui però consideri come complessi di parte immaginaria nulla tutti i reali; questo perché R è facilmente identificabile con il sottocampo di C dei complessi con parte immaginaria nulla. Dunque esistono due polinomi f* e g*, che brutalmente puoi vedere come f e g, ma che senz'altro soddisfano l'uguaglianza come polinomi a coefficienti complessi.
3) Infine, se due polinomi a coefficienti complessi sono uguali (coefficiente per coefficiente), lo sono le loro valutazioni in ogni complesso, dunque puoi sostituire $x=\alpha$ nell'uguaglianza con f* e g*, o se vuoi farla più semplice dici che i reali sono un sottoinsieme dei complessi e quindi già f e g (e anche $(x^2-x+1)$ e $x^2+x+1$) sono tutti anche a coefficienti complessi, e se vale l'uguaglianza tra i polinomi come scritture formali vale anche per ogni x complesso.

[Anér]

Nel G4 sei partito da un triangolo ABC e prima hai costruito P, poi E ed F; come puoi notare la costruzione di P, e poi quella della coppia {E,F}, è simmetrica rispetto a B e C; sostanzialmente stai facendo la seguente costruzione:" Scelto un vertice X del triangolo, traccia le tangenti alla cfr circoscritta per gli altri due, individuando un punto P(X); ora interseca il lato opposto a X con la retta XP(X) individuando il punto D(X); infine traccia le due parallele per D(X) ai lati del triangolo che contengono X, e interseca ognuno di questi due lati con la parallela all'altro lati, individuando una coppia (non ordinata) di punti {E,F}(X). Dal punto (a) sai che questa coppia di punti e gli altri due vertici del triangolo diversi da X sono conciclici; chiama allora $X_1$ il centro per la cfr che passa per essi".
Il testo del problema fa la costruzione per X=A e chiama P il punto che nella costruzione generica scritta sopra chiameresti P(A); ma come vedi puoi fare la costruzione anche partendo dagli altri due vertici del triangolo, ottenendo altre due quaterne di punti conciclici con centri $B_1$ e $C_1$.
In generale nei problemi di geometria capita spesso di partire da un triangolo, scegliere una costruzione che privilegia un lato rispetto agli altri due, eseguire tale costruzione su tutti e tre i lati e ottenere una terna di oggetti (in questo caso i tre punti A1, B1, C1 che corrispondono con la costruzione ai vertici A, B, C in quest'ordine) con delle proprietà interessanti da dimostrare. Per snellire il testo del problema si scrive di solito la costruzione relativa a un vertice e si chiede di farne una analoga sugli altri due.

[Anér]

Ciò che hai detto è senz'altro vero, però ti si chiede di trovare gli n per cui ogni n-upla diventa prima o poi superforte, e non per cui ne esiste una superforte. Se prendi un n qualsiasi, sicuramente (1,1,...,1) è fin da subito superforte, e (-1-1,...,-1) lo diventa al primo passaggio, ma per n=3 ad esempio (-1,-1,1) non diventa mai superforte, perchè continua sempre ad avere due -1 e un 1. Dunque n=3 non va bene. In generale se n non è una potenza di 2 si riesce a trovare una n-upla che non diventa mai superforte, mentre se n è una potenza di 2 allora ogni n-upla diventa superforte (ti dirò di più, lo fa in al più n passaggi). In questo momento non posso vedere il video, ho cercato di leggere il pdf ma non l'ho capito; mi viene però in mente una soluzione piuttosto semplice se si conosce un po' di algebra lineare.
Siamo tutti d'accordo che {-1,1} con la moltiplicazione funziona come Z/2Z con la somma (basta associare a $i$ in Z/2Z il numero $(-1)^i$). Z/2Z però è un campo, dunque trasformeremo il problema in un problema sullo spazio vettoriale (Z/2Z)^n.
Consideriamo i vettori n-dimensionali fatti di 1 e di 0, e chiamiamo f la funzione che al vettore $(x_1,\cdots,x_n)$ associa il vettore $(x_1+x_2,x_2+x_3,\cdots,x_n+x_1)$, ove tutte le somme sono da intendersi modulo 2. Credo sia abbastanza semplice notare che f è l'analogo del rafforzamento con la somma modulo 2; ci chiediamo per quali n a forza di iterare f su un qualsiasi vettore si ottiene il vettore (0,0,...,0).
Ora si vede a occhio che f è lineare (il buon comportamento rispetto alla somma in particolare è l'analogo della considerazione del video per cui $\phi (S_1\cdot S_2)=\phi (S_1)\cdot \phi (S_2)$, qui infatti il prodotto è diventato la somma, e stiamo dicendo che $f(S_1+S_2)=f(S_1)+f(S_2)$) , anzi si può anche scrivere facilmente la matrice di f:
1 1 0 .... 0 0 0
0 1 1 .... 0 0 0
0 0 1 .... 0 0 0
.
.
0 0 0 .... 0 1 1
1 0 0 .... 0 0 1
Questa matrice ha tutti 1 sulla diagonale e sopra la diagonale, più un 1 in basso a sinistra. Ci stiamo chiedendo per quali n tale matrice è nilpotente (ovvero una sua iterata è la matrice nulla, ovvero la matrice che a tutti i vettori associa il vettore nullo): infatti se vogliamo che per ogni vettore v si abbia f(f(...(v)...))=(0,0,...,0) iterando abbastanza volte, ci sarà un n numero di iterate che va bene per ogni vettore, ovvero f iterato n volte è la funzione nulla.
Ora sappiamo dalla teoria che una applicazione lineare è nilpotente se e solo se il suo polinomio caratteristico è completamente fattorizzabile e ha come unica radice lo 0. Il polinomio caratteristico è, come è noto, il determinante della matrice a cui si toglie x volte l'identità:
1-x 1 0 .... 0 0 0
0 1-x 1 .... 0 0 0
0 0 1-x .... 0 0 0
.
.
.
0 0 0 .... 0 1-x 1
1 0 0 .... 0 0 1-x
Sviluppando il determinante con la formula delle permutazioni, ci accorgiamo che gli unici modi sensati (senza zeri) di scegliere n caselle in modo che ce ne sia una per ogni riga e una per ogni colonna è prendere tutta la diagonale o tutta la sopradiagonale con la casella in basso a sinistra. Dunque il polinomio caratteristico è $(1-x)^n+(-1)^n$, ma visto che siamo modulo 2, -1=1 (e in generale + e - sono lo stesso segno), dunque possiamo scrivere il polinomio come
$$(x+1)^n+1=x^n+(\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}x^i)+1+1=x^n+(\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}x^i)$$
Vogliamo che questo polinomio sia completamente fattorizzabile e che abbia come unica radice lo 0, ovvero che sia $x^n$, dunque vogliamo che i binomiali $\binom{n}{i}$ siano tutti pari per ogni i compreso tra 1 e n-1, e questo capita (utile esercizio sulle valutazioni duadiche dei fattoriali) quando n è una potenza di 2.
Studiate dunque un po' di algebra lineare! Torna utile nei problemi olimpici e saperne già qualcosa vi tornerà comodo durante il primo anno di università!