Stage Senior 2012

[Anér]

@Astersh: tutte le dimostrazioni per induzione richiedono un caso base. Se stai facendo l'induzione su S, quale sarà il caso base?
@Nassus95: no. Se sai soltanto che x vale -1,-2 o 3, è ancora plausibile, ad esempio, che le uniche soluzioni siano soluzioni siano (-1,-1,-1),(-2,-2,-2) e (3,3,3).

[scambret]

@Astersh: tutte le dimostrazioni per induzione richiedono un caso base. Se stai facendo l'induzione su S, quale sarà il caso base?
@Nassus95: no. Se sai soltanto che x vale -1,-2 o 3, è ancora plausibile, ad esempio, che le uniche soluzioni siano soluzioni siano (-1,-1,-1),(-2,-2,-2) e (3,3,3).

E scrivendo: "dato che il sistema è simmetrico e dato una soluzione è $ \{-1,-2,3\} $ le soluzioni sono le permutazioni della terna non ordinata" può andare?

[nassus95]

@scambret: era proprio il passaggio che mi serviva, quindi basta che trovi una qualunque terna che il gioco è fatto, ma come faccio ad escludere i casi che mi suggeriva aner, come (-1,-1,-1), (-2,-2,-2), (3,3,3) ??? Ho ancora il dubbio iniziale, aiutatemi,grazie

[Anér]

La risposta è, come già detto, che non c'è motivo di escluderli, nel senso che effettivamente puoi avere un sistema le cui soluzioni sono (-1,-2,3) e permutazioni e (-1,-1,-1) eccetera. Se sai che x vale -1,-2 o 3 puoi fare il ragionamento del video e dire quanto può valere y e poi z in base al valore di x e poi anche di y, oppure provare tutte le terne di elementi in {-1,-2,3} (ovviamente a meno di permutazioni), oppure puoi dire che se due terne coincidono in due posizioni allora coincidono (ma solo in questo caso, e comunque perché?), verificare dapprima che (-1,-2,3) è soluzione e quindi ridursi a controllare soltanto (-1,-1,-1), (-2,-2,-2) e (3,3,3) (perché?).
Come vedete alla fine un po' di conti bisogna pur farli.

[scambret]

@scambret: era proprio il passaggio che mi serviva, quindi basta che trovi una qualunque terna che il gioco è fatto, ma come faccio ad escludere i casi che mi suggeriva aner, come (-1,-1,-1), (-2,-2,-2), (3,3,3) ??? Ho ancora il dubbio iniziale, aiutatemi,grazie

Oppure nel caso se vuoi concludere senza troppi ragionamenti fai delle solstituzioni: la prima equazione dice che $ x+y+z=0 $. Sostituisci e vedi che $ -1-1-1 \neq 0 $, cosi come per -2 e 3.

[Anér]

Ricordatevi che ogni volta che volete risparmiarvi un conto dovete giustificare questo risparmio. Ogni volta.

[scambret]

Ricordatevi che ogni volta che volete risparmiarvi un conto dovete giustificare questo risparmio. Ogni volta.

Esempio: $ m \in \mathbb{N} $, $ x^2+xy+y^2=-m $ allora non ammette soluzioni lo devo giustificare?? O è scontato??

[xXStephXx]

Grazie per il chiarimento nel C7.
Un'altra domanda: Nel G5, dal momento che il problema è molto simmetrico, una volta mostrati i passaggi fatti con E, bisogna fare gli stessi passaggi anche per F, oppure si può saltare quella parte scrivendo "analogamente si ricava che..."?

[Astersh]

@Anér ho fatto come mi hai detto e ho considerato la funzione convessa in $ \beta $ .
Io devo dimostrare : $ (n-2d)(n-\alpha-\beta) \leq (n-\alpha)(n-d-\beta) $

dato che prima avevo diviso in casi non mi resta che dimostrarla per $ \alpha ++ \ beta< n $
Quindi $ 0 \leq \beta \leq n-1-\alpha $

Dato che la funzione assume massimo e minimo ai suoi estremi allora mi basta provare la disuguaglianza per $ \beta=0 $ e per $ \beta=n-1-\alpha $.

1) $ \beta=0 $

$ (n-2d)(n-\alpha) \leq (n-\alpha)(n-d) $ che si riduce a $ \alpha d \leq nd $ che è sempre vera.

2) $ \beta=n-1-\alpha $

$ (n-2d) \leq (n-\alpha)(\alpha+1-d) $ con calcoli si arriva a $ {\alpha}^2 +\alpha(1-d-n) +nd -2d \leq 0 $

Ottengo una condizione su $ \alpha $ :

$ \alpha \leq \frac {n+d-1+ \sqrt{n^2 +d^2 +1+2nd-2n-2d-4dn+8d}}{2} $
Inoltre per il caso che sto considerando ( $ \alpha+\beta < n $) allora so anche che $ \alpha \leq n-1 $

Aquesto punto mi basta dimostrare che $ \frac {n+d-1+ \sqrt{n^2 +d^2 +1+2nd-2n-2d-4dn+8d}}{2} \geq n-1 $

$ n^2 +d^2 +1+2nd-2n-2d-4dn+8d \geq n^2 +d^2 +1 -2nd-2n+2d $ , svolgendo i conti si arriva a $ 8d \geq 4d $ che è sempre vera.

Così va bene?

[Clara]

Approfitto anch'io per una piccola domanda sulla soluzione del problema C8 di dario2994.
Quando non riesco più ad aggiungere conoscenze ad uno dei ragazzi (m'), nel video propone di sostituire una delle amicizie create in precedenza (tra m ed f) con un'altra (tra m ed f'') e di crearne una nuova (tra m' e f, che ora non è più satura).
Ma magari l'amicizia tra m' ed f esiste già. In altre parole, magari m' ha già 2d-1 amici, e tutte le amiche di m che ho creato io (e che quindi sono minimo d) sono già amiche anche di m'...
Come ne esco? Deve essermi sfuggito qualcosa...

(Nel video è a 1h 36m)

[Anér]

Ricordatevi che ogni volta che volete risparmiarvi un conto dovete giustificare questo risparmio. Ogni volta.

Esempio: $ m \in \mathbb{N} $, $ x^2+xy+y^2=-m $ allora non ammette soluzioni lo devo giustificare?? O è scontato??

Nel dubbio giustifica, soprattutto se ti ci vuole una riga (suvvia, un po' di buona volontà, la matematica è bella e interessante ma a volte è anche da soffrire).

[Anér]

Grazie per il chiarimento nel C7.
Un'altra domanda: Nel G5, dal momento che il problema è molto simmetrico, una volta mostrati i passaggi fatti con E, bisogna fare gli stessi passaggi anche per F, oppure si può saltare quella parte scrivendo "analogamente si ricava che..."?

Spiega perché i passaggi sono analoghi, poi nessuno ti chiede di riscrivere tutto sostituendo le E con le F.

[Anér]

@Anér ho fatto come mi hai detto e ho considerato la funzione convessa in $ \beta $ .
Io devo dimostrare : $ (n-2d)(n-\alpha-\beta) \leq (n-\alpha)(n-d-\beta) $

dato che prima avevo diviso in casi non mi resta che dimostrarla per $ \alpha ++ \ beta< n $
Quindi $ 0 \leq \beta \leq n-1-\alpha $

Dato che la funzione assume massimo e minimo ai suoi estremi allora mi basta provare la disuguaglianza per $ \beta=0 $ e per $ \beta=n-1-\alpha $.

1) $ \beta=0 $

$ (n-2d)(n-\alpha) \leq (n-\alpha)(n-d) $ che si riduce a $ \alpha d \leq nd $ che è sempre vera.

2) $ \beta=n-1-\alpha $

$ (n-2d) \leq (n-\alpha)(\alpha+1-d) $ con calcoli si arriva a $ {\alpha}^2 +\alpha(1-d-n) +nd -2d \leq 0 $

Ottengo una condizione su $ \alpha $ :

$ \alpha \leq \frac {n+d-1+ \sqrt{n^2 +d^2 +1+2nd-2n-2d-4dn+8d}}{2} $
Inoltre per il caso che sto considerando ( $ \alpha+\beta < n $) allora so anche che $ \alpha \leq n-1 $

Aquesto punto mi basta dimostrare che $ \frac {n+d-1+ \sqrt{n^2 +d^2 +1+2nd-2n-2d-4dn+8d}}{2} \geq n-1 $

$ n^2 +d^2 +1+2nd-2n-2d-4dn+8d \geq n^2 +d^2 +1 -2nd-2n+2d $ , svolgendo i conti si arriva a $ 8d \geq 4d $ che è sempre vera.

Così va bene?

Suvvia, la correzione viene dopo che avete mandato gli esercizi! Una cosa è se non avete capito un teorema, un lemma o una parte di una dimostrazione, una cosa è chiedere se i conticini sono giusti, quello spero che sappiate controllarlo anche da soli!

[Anér]

Approfitto anch'io per una piccola domanda sulla soluzione del problema C8 di dario2994.
Quando non riesco più ad aggiungere conoscenze ad uno dei ragazzi (m'), nel video propone di sostituire una delle amicizie create in precedenza (tra m ed f) con un'altra (tra m ed f'') e di crearne una nuova (tra m' e f, che ora non è più satura).
Ma magari l'amicizia tra m' ed f esiste già. In altre parole, magari m' ha già 2d-1 amici, e tutte le amiche di m che ho creato io (e che quindi sono minimo d) sono già amiche anche di m'...
Come ne esco? Deve essermi sfuggito qualcosa...

(Nel video è a 1h 36m)

Non so, anch'io non ho capito molto la soluzione di dario2994, quindi invochiamo il suo intervento; comunque c'è sempre la prima soluzione, dunque se volete potete sempre ispirarvi a quella che credo sia abbastanza chiara.

[Clara]

Sì sì, eventualmente faccio quella...