teppic ha scritto:Il resto sono conti, mi pare.
Esatto, però mi pongo nei panni dell'olimpionico disorientato dall'algebra (condizione che, essendomi appartenuta, mi riesce facile interpretare), e mi permetto di chiarire, espandendola, questa frase un po' laconica (per quanto ineccepibile, ovviamente!!), sperando di non gettare ancora più fumo sulla faccenda.
Oh. Fatto il preambolo.
Sappiamo che un fattore è $ ~x $, e ok. Ci siamo resi tutti conto che un altro fattore è $ ~x+1 $, e fin qui nessun problema. Questi 2 fattori si scompongono ulteriormente? Ovvio che no, hanno grado 1.
Facendo poi le 2 scomposizioni col prodotto notevole che ha detto teppic, si arriva a (scriviamo tutto per esteso):
$ ~x^{16}+x = x(x+1)(x^2-x+1)(x^{12}-x^9+x^6-x^3+1) $
$ ~x^{16}+x = x(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^{10}-x^5+1) $
Quindi sappiamo già che i fattori irriducibili sono almeno 4. Possono essere esattamente 4? Se lo fossero, sarebbero quelli che abbiamo scritto, ed in tal caso avremmo una doppia fattorizzazione di $ ~x^{16}+x $. Ma poiché tra i polinomi a coefficienti interi c'è l'unicità della fattorizzazione, questo non può essere: ergo, i fattori irriducibili sono almeno 5.
Questo è sufficiente per rispondere al quesito (seppur con un atto di fede!), visto che le risposte multiple si fermavano fortunatamente a 5.
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Se poi non ci fidiamo della fattorizzazione unica (o non sappiamo che c'è), e vogliamo trovare davvero 5 fattori, possiamo metterci a dividere polinomi a casaccio (noi sì che abbiamo metodo). Siccome siamo scriteriati e sfaticati, dividiamo prima $ ~x^{10}-x^5+1 $ per $ ~x^2-x+1 $, che sono i più corti da scrivere.
Ci ricordiamo come si fa la divisione tra polinomi, vero? Err, "certo"!
$ ~(x^{10}-x^5+1)/(x^2-x+1) = x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x^2+1 $
Tombola, è divisibile! La nostra scomposizione allora è questa:
$ ~x^{16}+x = x(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^2-x+1)(x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x^2+1) $
Ok, e chi ci dice che quegli ultimi 3 polinomi siano irriducibili? Le risposte multiple arrivano fino a 5, ma noi siamo come S. Tommaso. Purtroppo qui il bagaglio olimpico standard si ferma, e per risolvere completamente l'esercizio dobbiamo studiare cose come il lemma di Gauss o altre robacce, oppure rimboccarci le maniche (scelta sconsigliata) ed andare per esaustione moltiplicando tra loro le radici quindicesime di -1 in tutti i modi possibili. Auguri!
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