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Come faccio a calcolare il numero di cifre del periodo quanto il divisore è di centinaia o migliaia di cifre?
Ad esempio da quanto cifre è composto il periodo del quoziente di
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Esistono dei programmi con cui posso fare questo tipo di calcoli?

Non credo che esista niente già "preconfezionato". Se ti è chiaro l'algoritmo per farlo (devi calcolare svariati 10^k modulo m, dove m è il divisore, e devi cercare di calcolarne il meno possibile ingegnandoti un po') e hai solo bisogno di un programma o libreria per fare conti con interi molto grandi, puoi usare programmi tipo mathematica (più facile), linguaggi tipo Ruby che li supportano nativamente (facile se sai programmare), o librerie tipo GNU GMP per C e C++ (macchinoso anche se sai programmare).

Mi correggo, c'è.
Dai un'occhiata qui e poi scaricati PARI/GP come indica nella pagina.
E ora che ci ripenso un minimo più seriamente anche in Mathematica dovrebbe esserci qualcosa di preconfezionato per calcolare un ordine moltiplicativo (well, mi stupirebbe se non ci fosse)

In Mathematica $ ord_m(k) $ si inserisce così: Inoltre la funzione che ti trova la lunghezza del periodo del numero razionale $ r $ scritto in base $ b $ può essere implementata così: