Gravitazione

Meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, relatività, ...
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Andre_tenplus
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Gravitazione

Messaggio da Andre_tenplus » 12 set 2007, 00:04

Sia P un satellite che ruota su un'orbita ellittica di cui il pianeta F occupa uno dei due fuochi.
Sia a il semiasse maggiore, b il semiasse minore, c la semidistanza focale.
Calcolare il valor medio di PF (distanza tra il satellite e il pianeta) in un periodo.

Ho l'impressione che sia a, ma non riesco a dimostrarlo.

Sherlock
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Messaggio da Sherlock » 12 set 2007, 00:16

Non so come spiegarlo...ci provo e spero si capisca cosa voglia dire...


chiamiamo P ed F i due fuochi

S + F = 2a

se PF maggiore di PS assumerà alcuni valori

viceversa PF assumerà i valori che assumeva PS nel caso precedente quindi la somma tra i possibili valori di PF è ka e la media è a


So che questa non è una dimostrazione e qualsiasi cosa sia fa veramente schifo e so anche non si è capito niente ma è il massimo che posso fare a quest'ora di quest'umore. :( :( :(


PS: Se qualcuno si sta chiedendo perchè ho chiamato un fuoco S...bé si faccia gli affari suoi :D :D


PPS: Ma perchè questo problema è in fisica? :?
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Deerber
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Messaggio da Deerber » 12 set 2007, 10:15

Perchè era il succo del problema numero uno di fisica di ammissione alla normale... poi dici perchè ci sono più matematici che fisici in normale :P
Comunque si, il raggio medio dell'ellisse è a... basta tracciare l'asse minore e notare che l'ellisse è simmetrica rispetto ad esso. Quindi qualsiasi punto mettiamo a sinistra avrà uno speculare a destra. La distanza dall'oggetto massivo del primo punto poniamo sia x, e del secondo y. Ma, proprio per la simmetria di cui sopra, y è proprio uguale alla distanza del primo punto dal secondo fuoco. Ma per le proprietà dell'ellisse la somma delle distanze di un punto dai due fuochi è 2a, quindi x+y=2a. Siccome lo stesso discorso vale per tutti i punti dell'ellisse, concludiamo che la media è 2a/2=a. Boll l'ha risolto a questo modo l'esercizio, e in effetti è una soluzione a dir poco elegante direi... peccato che non gli sia bastato :( Ci spiace a tutti Boll, e sappiamo tutti che meritavi più di alcuni di noi (tra cui mè stesso) di essere agli orali. Idem per Leone... non vi abbattete e fatevi sentire :)
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Bacco
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Messaggio da Bacco » 12 set 2007, 12:24

Non mi convince molto in realtà...

Per trovare la distanza media, bisogna calcolare $ \frac{1}{T} \int_{0}^{T} rdt $ su un periodo. Chiaramente puoi considerare una sola delle metà dell'ellisse rispetto all'asse maggiore, riducendoti a integrare su mezzo periodo. E adesso? Il tuo modo di spaccare l'integrale non mi sembra affatto lecito. E' come dire: per ogni $ t_1 $ esiste $ t_2 $ tale che $ r(t_1)+r(t_2)=2a $, inoltre ho $ t_3 $ tale che $ 2r(t_3)=2a $, allora concludo che $ \int_{0}^{T} rdt = a*T $.
Se la velocità radiale fosse costante o simmetrica ok, ma è chiaro che così non è. Il problema fondamentale è che tali ragionamenti funzionano con un numero finito di punti che pesano tutti uguale nella media, ma questa è una quantità continua, e il teorema della media integrale dice solo che esiste un punto che si comporta come vogliamo, non che sia $ t_3 $.
Inoltre: trovato il raggio medio, non è vero che l'energia potenziale media è quella calcolata in con quel raggio medio! Non è una funzione lineare....
E comunque, da qui alla soluzione del problema ci sarebbe ancora un grosso passo: trovata l'energia potenziale media, come trovi il valore dell'energia totale? Questo si può fare, in verità, col teorema del viriale, ma non credo che sia uno strumento da liceo.

Il problema originale dato all'ammissione si risolve scrivendo l'energia e il momento angolare in un punto a velocità radiale nulla (afelio o perielio); si risolve l'eq. di 2° grado trovando i rispettivi raggi, e si fa la semisomma trovando a, che risulta essere solo funzione di E.

Ciao
Ultima modifica di Bacco il 12 set 2007, 12:43, modificato 3 volte in totale.
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 12 set 2007, 12:29

Elegante ma risolve un altro problema, perché il raggio medio su un periodo non è a.
a è la media rispetto la lunghezza d'arco, cioè la media se il satellite procedesse a velocità costante lungo l'orbita, come avete dimostrato.
Il satellite però non procede con velocità uniforme ma accelera quando è più vicino al pianeta e rallenta quando ne è più lontano secondo la seconda legge di Keplero, e mediando sui tempi il risultato in effetti viene diverso da a (esercizio: calcolare il risultato).

Il problema si presta ad essere male interpretato, ma se il testo diceva di "calcolare il valor medio in un periodo" direi che la media andava fatta sui tempi e non sulle posizioni.

Curiosità: Se il satellite si muovesse a velocità angolare costante, il valor medio della distanza sarebbe b, il semiasse minore.
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 12 set 2007, 12:36

(Ho visto solo ora il messaggio di Bacco, Nel post precedente mi riferivo a Deerber)

Bacco, le tue obiezioni sono corrette, ma la tua soluzione no.
Tu stesso affermi che bisogna calcolare $ \frac{1}{T} \int_{0}^{T} rdt $
ma non puoi calcolarlo facendo la semisomma del valore massimo e del valore minimo. E comunque, per trovare la semisomma delle distanze nell'afelio e nel perielio non è necessario risolvere alcuna equazione, è immediato che sia a dalla prima legge di Keplero (il fuoco e i due vertici dell'ellisse sono evidentemente allineati).
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Messaggio da Bacco » 12 set 2007, 12:42

Chiedo scusa, il fatto è che io mi riferivo al testo originale del problema assegnato all'ammissione (senza accorgermi che nessuno l'aveva riportato), dove si chiedeva di calcolare l'energia totale. E' quello il quesito di cui ho scritto la soluzione, non certo quello di trovare il raggio medio! :D

Ciao
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 12 set 2007, 12:47

Scusami tu :)
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Andre_tenplus
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Messaggio da Andre_tenplus » 13 set 2007, 00:12

Si ha ragione Bacco. il mio quesito era una riformulazione del primo problema dell'esame per la normale di quest'anno..e visto che nel compito non l'ho fatto e che sono stato ammesso agli orali, volevo capire come si faceva...

tra l'altro spulciando tra i libri, ho trovato che lo stesso problema è il 32 di pagina 205 di ELEMENTI DI FISICA GENERALE - Meccanica di Giovanni Tonzig..
grazie a tutti per l'aiuto.. anche se il guaio rimane il problema 3...

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