Toluene ungherese [IPhO 1968]

[Ponnamperuma]

Un esercizio bello e non difficile...

Un bicchiere contiene 300 cm^3 di toluene a 0°C, un altro ne contiene 110 cm^3 a 100°C. Determina il volume dopo che i due liquidi sono stati mescolati, se il coefficiente di dilatazione termica del toluene vale k=0,001/K.
Ah, si trascurino le perdite di calore...

[pic88]

Dunque.. troviamo la temperatura di equilibrio con la solita:

$ {cm_1(T_1-T_e)=cm_2(T_e-T_2)} $
dopodichè consideriamo la dilatazione dei due volumi, separatamente, e sommiamo.
Bah.. a me viene 400. (EDIT: per forza, ho sbagliato a trascrivere i dati!)

EDIT: Vediamo se è un caso o funziona proprio così, cioè se i volumi si sommano:

Allora, dette $ {\Delta T_1} $ e $ {\Delta T_2} $ le variazioni, abbiamo che
$ {\frac{m_1}{m_2}=\frac{\Delta T_2}{\Delta T_1}} $.

Ora, le variazioni di volume sono, in valore assoluto,

$ {3\lambda V_1\Delta T_1} $ e $ {3\lambda V_2\Delta T_2} $

e, combinando, sono uguali. Una è positiva (per la parte che aumenta di temperatura), l'altra è negativa.

[Zoidberg]

A me 410 cm^3

[Ponnamperuma]

Ha ragione Zoidberg... E quel numerello non è un caso, se si portano avanti i calcoli senza inserire risultati numerici parziali si semplifica tutto che è una meraviglia! Provate!
L'idea di pic, comunque, a parte l'errore che inevitabilmente ha commesso, è giusta!

[pic88]

È che io lavoravo con 100 grammi di toulene a 100 ° C, non 110 g!!! Ecco perché mi veniva 400.

In sostanza, i volumi si sommano.

Però Zoidbegr poteva postarli un po' di conti

[Ponnamperuma]

Vedo adesso che hai cambiato il messaggio di prima... poco male...
Lascio comunque la mia espressione di $ T_e $:
$ \displaystyle T_e=\frac{V_1_{[0°C]}t_1+V_2_{[0°C]}t_2}{V_1_{[0°C]}+V_2_{[0°C]}} $

Come dicevo sopra, con un po' di algebretta si trova il risultato che hai enunciato poc'anzi!

Ciao!

[Zoidberg]

scusatemi ma sono pigro!

Comunque prima ho calcolato il volume del toluene caldo se fosse stato a 0°, quindi ho dedotto il rapporto tra le masse e da questo la temperatura finale.
Con la temperatura ho trovato il volume finale

Comunque pic stai attento perché mi sa che hai confuso il volume con la massa. (non ho idea di quanto pesi sto toluene)

[mitchan88]

viewtopic.php?t=8795

[Ponnamperuma]

Sì, la densità non è data, ma pur volendola coinvolgere nei calcoli della temperatura di equilibrio si semplifica... non vuole proprio partecipare al problema!

[pic88]

Comunque pic stai attento perché mi sa che hai confuso il volume con la massa. (non ho idea di quanto pesi sto toluene)

Abbiamo ragione di credere che la natura sia uniforme (come diceva Newton), quindi penso che queste due grandezze siano abbastanza proporzionali.


un po' di sano odio tra chi proverà alla Galileiana è del tutto giustificabile

[pic88]

Leggo ora, nel topic postato da mitchan88

si, mi sono appena reso conto di aver letto 110 come temperatura di uno, ed erano 100 scusate.

.. per cui credo che in questo problema la grossa difficoltà sia nel non confondersi coi dati.

[Zoidberg]

un po' di sano odio tra chi proverà alla Galileiana è del tutto giustificabile

Ahahahah!

[NEONEO]

Notate una cosa interessante che a mio parere avrebbe portato subito alla soluzione, cioè che i volumi si sarebbero dovuti semplicemente sommare.
Il sistema è isolato e quindi se esso non compie lavoro sull'esterno, l'energia interna si deve conservare. Giusto?
Ok, quindi in questo caso il ragionmento è all'inverso. Si presuppone che l'energia si conservi, imponendo lo scambio termico, e quindi il sistema non può compiere lavoro. Questo implica che non può occupare un volume maggiore altrimenti verrebbe compiuto un lavoro nella dilatazione pari a $ P_aV $, con $ P_a $ la pressione esterna. Sono quasi sicuro che questo ragionamento sia corretto. Comunque provo a verificare su qualche testo.

[memedesimo]

Credo che il lavoro fatto per espandersi venga trascurato nella dilatazione termica...infatti se l'esercizio fosse stato ambientato nello spazio, sarebbe stato uguale, no?