SNS '99-'00 numero 6

Meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, relatività, ...
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Deerber
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SNS '99-'00 numero 6

Messaggio da Deerber » 22 ago 2007, 15:10

Ecco a voi il testo della prima parte dell'esercizio:
Un fluido incompressibile di densità $ $\rho$ $ si muove in un tubo di sezione $ $S$ $ con velocità $ $v$ $. Il tubo ha un gomito che costringe il fluido a cambiare direzione di un angolo $ $\theta$ $, come mostrato in figura 2 (immaginatevi semplicemente un tubo con un gomito di angolo $ $\theta$ $, appunto). Calcolare le componenti $ $x$ $ e $ $y$ $ della forza esercitata sul tubo, e il modulo della forza stessa.

Posto la mia soluzione, ditemi cosa pensate, spero di non aver sparato troppe cazzate:
Innanzitutto ci assicuriamo che, per la conservazione della massa, la velocità del fluido dopo il gomito è, in modulo, la stessa di prima. Essendo la sua direzione cambiata di un angolo $ \theta$ $, avremo quindi che $ $v_x=v\cos{\theta}$ $ e $ v_y=v\sin{\theta}$ $. Prendiamo ora in considerazione un volumetto di fluido $ $dV$ $, che esprimiamo come $ $dV=Svdt$ $. La sua massa sarà $ $dm=Svdt\rho$ $, e la sua quantità di moto $ $dp_x=Sv^2dt\rho$ $, e $ $dp_y=0$ $. Applichiamo ora la seconda e la terza legge di newton a tutte e due le componenti, e otteniamo $ $F_{x,ft}=-F_{x,tf}=-\frac{dp_x}{dt}=Sv^2(\cos{\theta}-1)\rho$ $ e $ $F_{y,ft}=-F_{y,tf}=-\frac{dp_y}{dt}=-Sv^2\sin{\theta}\rho$ $.
A questo punto basta sommare i due vettori e otteniamo il modulo della forza totale: $ $F_{ft}=\sqrt{{F_{x,ft}}^2+{F_{y,ft}}^2}=v\sqrt{2S(1-\cos{\theta})\rho} $
Come vi sembra? :)
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bruno222
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Messaggio da bruno222 » 23 ago 2007, 00:34

scusa potresti spiegarmi perchè la componente lungo x della forza è moltiplicata per $ {\cos\theta} - 1 $ e non per $ \cos\theta $??

Deerber
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Messaggio da Deerber » 23 ago 2007, 09:42

Perchè deriva dal cambiamento della quantità di moto, e prima la quantità di moto sulla x era 1, dopo è $ $\cos{\theta}$ $. Aggiungici il meno davanti ed è fatta. Idem per l'altra componente, che era 0 ed è diventata $ $\sin{\theta}$ $ :D
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bruno222
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Messaggio da bruno222 » 23 ago 2007, 11:50

grazie mille ..... l'esercizio l'avevo risolto come te ma non capivo proprio quell'$ \cos\theta -1 $ .......

Deerber
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Messaggio da Deerber » 23 ago 2007, 12:20

E di che :)
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