OliForum Matematico

Questo problema è stato proposto all'esame di ammissione Olimpic dell'università statale di Mosca nel 1946, stando a quanto dice l'Halliday

In una sfera di piombo di raggio R e massa M viene creata una cavità sferica di diametro R compresa tra il centro e la superficie esterna della sfera di piombo. Una sferetta di massa m è collocata in modo tale che il suo centro e i centri della sfera di piombo e della cavità sono allineati e il centro della cavità giace tra gli altri due. trovare l'attrazione gravitazionale della sfera cava sulla sferetta


buon lavoro by salva

metto l'allegato così capite

Ciao, non mi è molto chiara la domanda...potresti spiegarla meglio?
e la sferetta dove si trova, all'interno o all'esterno?


ciao

senza disegno è un pò difficile da spiegare... comunque la sferetta è all'esterno, vero, ho scordato di scriverlo

la domanda è : trovare con quale forza la sfera di piombo, dopo essere stata scavata, attrae la sferetta

ps: visto che te non sei molto pezzente, fisicamente parlando, lascialo a qualcun altro

uno strato sferico non esercita alcuna attrazione su una massa situata nella sua cavità...magari il problema chiede l'attrazione della massa sulla sfrea cava...

Non ho voglia di fare i (pochi) conti, però scrivo in spoiler quello che secondo me è il trucco

Considerare il foro come pieno e calcolare l'attrazione della sfera totale, e poi togliere il contributo dovuto al foro.
Come dire, considerare il foro pieno di massa positiva e altrettanta massa negativa

I corpi hanno simmetria sferica, quindi niente integrali. La forza di attrazione risulta quindi [Attrazione al blocco M - attrazione che avrebbe la sferetta vuota se fosse piena]. Ricordando che tutto il corpo è uniformemente denso e che i rapporti volumici sono il cubo dei rapporti lineari, la sfera vuota, se fosse piena avrebbe massa pari ad 1/8 della sfera piena. Quindi possiamo impostare:

$ $ F=GMm\left(\frac{1}{d^2}-\frac{1}{8(d-\frac{R}{2})^2}\right) $

Tale risultato sembra essere sensato perchè se avessimo R=0 si riduce all'attrazione gravitazionale fra 2 punti, uno privato di 1/8 della propria massa.

Basta applicare la "legge di Gauss" per il campo gravitazionale ad una sfera piena di densità d e poi il buco considerarlo come un'ulteriore distribuzione di densità -d, principio di sovraposizione e via

confermo la soluzione di boll, e ovviamente l'hint di pigkappa.
anche io ho considerato prima la sfera come piena e ho poi sottratto la forza che sarebbe stata esercitata dalla parte tolta