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due automobili percorrono, una in verso orario e l'altra in verso antiorario, una strada circolare di raggio R ad una velocità v. al tempo t=0 ledue automobili sono agli estremi opposti del cerchio. si calcolino i moduli della velocità e dell'accellerazione di una macchina misurati in un sistema di riferimento solidale col pilota dell'altra automobile ad un generico istante t.

Per un osservatore in un sistema di riferimento solidale con un'automobile, l'altra macchina avrà una velocità di modulo $ 2v $, mentre l'accelerazione sarà $ $\frac{4v^2}{R}$ $

occhio zancus perchè le due automobili vanno una verso l'altra

mmm... ancora non capisco cosa c'è che non va...

io direi che la velocità è:

v(t)=2v*cos(2v*t/R)

e l'accellerazione è semplicemente la derivata:

a(t)=-4v^2/R*sen(2v*t/R)

ops...forse se non spiego il sistema di riferimento tutto ciò non ha senso...
diciamo che il moto è monodimenzionale, l'asse di riferimento ha stessa direzione e verso del vettore velocità di una delle due automobili...

Da quello che hai scritto significa che ci sono istanti in cui una macchina vede l'altra ferma.
Se io mi metto nei panni di un autista vedo l'altra macchina che si muove di moto circolare uniforme, e comunque non ci sono momenti in cui la vedo fermarsi. (A meno che la mia immaginazione non funzioni bene...)

mm...diciamo che anche tu hai ragione...però se consideri un sistema di riferimento come l'ho descritto allora ti rispondo si, c'è un momento in cui la velocità è 0 cioè quando le due automobili sono ad una distanza angolare di 90°...
forse sarebbe il caso di aggiungere un'altro asse al sistema di riferimento...

Mi sembra di capire che tu abbia considerato solamente la proiezione su un asse del moto...

si esatto...

Edit: per errore ho fatto partire le auto dallo stesso punto...

Se le macchine sono 1 e 2, le loro velocità saranno $ ~v_1 = \omega R $ e $ ~v_2 = -\omega R $.

Nella notazione con i versori:
$ \displaystyle \vec{v_1} = [\omega R\sin(\omega t)]\hat{\i} + [\omega R\cos(\omega t)]\hat{\j} $

$ \displaystyle \vec{v_2} = [-\omega R\sin(-\omega t)]\hat{\i} + [-\omega R\cos(-\omega t)]\hat{\j} $

La velocità di 2 dal punto di vista di 1 sarà la differenza $ \vec{u}=\vec{v_2}-\vec{v_1} $, che come si vede è

$ \displaystyle \vec{u} = 0\hat{\i} + [2\omega R\cos(\omega t)]\hat{\j} $.

E in effetti è del tutto possibile che sia $ \vec{u}=0 $.

Per l'accelerazione (che si scrive con una sola "l"!! ) è sufficiente derivare e si ottiene:

$ \displaystyle \vec{a}_{rel} = 0\hat{\i} + [-2\omega^2 R\sin(\omega t)]\hat{\j} $

Uhm io provo a dare una soluzione diversa...questo è quello che viene a me...
Considero il classico sistema di riferimento fisso al centro della circonferenza e pongo l'auto1 nel punto (0,R) (sopra) che si muove in senso orario e l'auto2 nel punto (0,-R) (sotto) che si muove in senso antiorario. Le loro velocità in questo sistema sono date vettorialmente da:
$ \left\{ \begin{array}{rl} \vec{v_1_x}=v cos(\omega t)\vec{u_x} \\ \vec{v_1_y}=-v sin(\omega t)\vec{u_y} \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{rl} \vec{v_2_x}=v cos(\omega t)\vec{u_x} \\ \vec{v_2_y}=v sin(\omega t) \vec{u_y} \end{array} \right. $
Ora considero il riferimento solidale con l'auto2 ossia un sistema di riferimento il cui centro si muove con velocità pari a è v_2.
Considero anche che tale sistema ruoti al muoversi dell'auto2 con la stessa velocità angolare. Ora applico il teorema delle velocità relative per ricavare la velocità dell'auto1 rispetto a questo nuovo sistema:
$ \vec{v'}=\vec{v_1}-\vec{v_2}-\vec{\omega}\times\vec{r'}\\ & \mbox{dove }\vec{\omega}\times\vec{r'}=-b\omega\vec{u_x}+a\omega\vec{u_y}\\ & \mbox{considerando } \vec{r'}=(a,b,0)\\ & \mbox{si ottiene dunque } $
$ \left\{ \begin{array}{rl} \vec{v'_x}=b\omega\vec{u_x} \\ \vec{v'_y}=[-2v sin(\omega t)-a\omega] \vec{u_y} \end{array} \right. $
Concludendo se il sistema trasla solo con l'auto2 mi viene che il modulo della velocità è pari a: $ v=-2v sin(v^2t/R) $.
Se invece considero gli assi che ruotano anche nel frattempo (direzione dell'asse x uguale a quella della vista del guidatore che guarda sempre la strada dinanzi a sè) bisogna considerare anche i fattori a e b che conducono a una soluzione diversa (e più corretta suppongo). Però prima di calcolarli e dire altre cavolate preferisco chiedere conferma a voi...

Il risultato è lo stesso che viene a me. Io non ho letto bene il testo, quindi ho fatto partire le auto dallo stesso punto e questo provoca una differenza di fase di 90° (e infatti ho un coseno al posto del seno), ma al di là di questo dettaglio, se sostituisci $ v = \omega R $ ti puoi convincere che è la stessa cosa

Ah ecco non mi era chiaro il fatto che avevi fatto partire le macchine dallo stesso punto (il testo dice esattamente il contrario ).
Comunque quello che volevo intendere è che in questo caso si trascura la rotazione del sistema di riferimento solidale con l'auto2. Considerando la rotazione si ha che la distanza reciproca delle due auto nel tempo risulta essere:
$ r'=2Rcos(\omega t) $
Da cui si ottiene che i parametri a e b sono:
$ a=0\\ b=2Rcos(\omega t) $
Quindi:
$ \left\{ \begin{array}{rl} v'_x=2vcos(\omega t)\\ v'_y=-2vsin(\omega t) \end{array} \right. $
E dunque viene che il modulo risulta essere 2v come diceva zancus ( )