Un cerchio che gira

[memedesimo]

Premessa teorica per chi, giustamente, non conosce il modulo di Young:

Prendiamo una sbarra di sezione A e lunghezza L, e la vogliamo comprimere o allungare.
Esiste una relazione empirica che dice che la differenza di pressione P applicata ai due capi è P=E*(deltaL)/L, dove E è una costante detta modulo di Young e (deltaL)/L è la variazione percentuale di lunghezza della sbarra.

Esercizio:

Un anello sottile omogeneo di circonferenza C e densità d è posto in rotazione a velocità W attorno al suo centro di massa, perpendicolarmente al piano in cui giace l'anello. trovare la nuova lunghezza della sua circonferenza (assunta piccola: questo significa approssimare giù di brutto!).

Ci sono almeno 3 modi per farlo!

Ciao!

Ps: potete vedere la cosa anche come una molla che gira!

[enomis_costa88]

Approssimo brutalmente a ciò che accade quando un’onda si propaga in una corda tesa (per trovare la velocità dell'onda la si approssima ad una circonferenza quindi ).
da cui facilmente trovo la tensione sulla corda (hum..l'anello lo considero come una corda) :
$ T=w^2R^2\mu $
Ma anche considerando il modulo di young:
$ EA\frac{\Delta L}{L} =EA\frac{(R_f-R_i)}{R}=T $
Da cui la relazione:
$ EA\frac{(R_f-R_i)}{R}=w^2R_f^2\mu $
Sia d la densità.
$ \mu=\frac{m}{L} $
$ A=\frac{m}{d L} $
Sostituendo ottengo:
$ \frac{E(R_f-R_i)}{dLR_i}=w^2R_f^2\frac{1}{L} $
nella quale non conosco solo R_f e da cui dovrei risolvere tutto..

Se prima avessi considerato la dilatazione come trascurabile rispetto alla lunghezza totale dei raggi avrei ottenuto subito:
$ w^2R^2\frac{m}{L}=E\Delta L \frac{m}{dL^2} $
ovvero:
$ \Delta L=L\frac{w^2R^2d}{E}=\frac{w^2L^3d}{4\pi^2E} $
e $ L_f=L+\Delta L=L+ L\frac{w^2R^2d}{E} $