Un cerchio che gira

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memedesimo
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Un cerchio che gira

Messaggio da memedesimo » 31 lug 2007, 14:15

Premessa teorica per chi, giustamente, non conosce il modulo di Young:

Prendiamo una sbarra di sezione A e lunghezza L, e la vogliamo comprimere o allungare.
Esiste una relazione empirica che dice che la differenza di pressione P applicata ai due capi è P=E*(deltaL)/L, dove E è una costante detta modulo di Young e (deltaL)/L è la variazione percentuale di lunghezza della sbarra.

Esercizio:

Un anello sottile omogeneo di circonferenza C e densità d è posto in rotazione a velocità W attorno al suo centro di massa, perpendicolarmente al piano in cui giace l'anello. trovare la nuova lunghezza della sua circonferenza (assunta piccola: questo significa approssimare giù di brutto!).

Ci sono almeno 3 modi per farlo!

Ciao!

Ps: potete vedere la cosa anche come una molla che gira!

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enomis_costa88
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 ago 2007, 18:41

Approssimo brutalmente a ciò che accade quando un’onda si propaga in una corda tesa (per trovare la velocità dell'onda la si approssima ad una circonferenza quindi :wink: ).
da cui facilmente trovo la tensione sulla corda (hum..l'anello lo considero come una corda) :
$ T=w^2R^2\mu $
Ma anche considerando il modulo di young:
$ EA\frac{\Delta L}{L} =EA\frac{(R_f-R_i)}{R}=T $
Da cui la relazione:
$ EA\frac{(R_f-R_i)}{R}=w^2R_f^2\mu $
Sia d la densità.
$ \mu=\frac{m}{L} $
$ A=\frac{m}{d L} $
Sostituendo ottengo:
$ \frac{E(R_f-R_i)}{dLR_i}=w^2R_f^2\frac{1}{L} $
nella quale non conosco solo R_f e da cui dovrei risolvere tutto..

Se prima avessi considerato la dilatazione come trascurabile rispetto alla lunghezza totale dei raggi avrei ottenuto subito:
$ w^2R^2\frac{m}{L}=E\Delta L \frac{m}{dL^2} $
ovvero:
$ \Delta L=L\frac{w^2R^2d}{E}=\frac{w^2L^3d}{4\pi^2E} $
e $ L_f=L+\Delta L=L+ L\frac{w^2R^2d}{E} $
"Tu che lo vendi cosa ti compri di migliore?"

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