SNS 1983 problema 1

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Pigkappa
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SNS 1983 problema 1

Messaggio da Pigkappa » 25 lug 2007, 17:53

Sia l il libero cammino medio delle molecole di un gas a bassa densità. Dimostrare che l è direttamente proporzionale alla temperatura T delle molecole e inversamente proporzionale alla pressione P.
Trovare il raggio delle molecole del gas in funzione di T, di P e di l.




Non ho ben capito cosa volessero da questo problema, perchè se uno sa la formula (sull'Halliday c'è, ma non mi pare una cosa così importante da ricordarsela...) lo fa istantaneamente, se uno non la sa deve fare i salti mortali (l'Halliday dice che la formula è difficile da ricavare in modo esatto)... Forse mi sfugge qualcosa...

TADW_Elessar
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Messaggio da TADW_Elessar » 25 lug 2007, 18:04

Boh... mi sa che me la scriverò sul palmo della mano :P

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enomis_costa88
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Messaggio da enomis_costa88 » 25 lug 2007, 21:09

la formula è $ L=\frac{V}{\sqrt{2}\pi d^2N}=\frac{nRT}{\sqrt{2}\pi d^2N P} $
$ =\frac{RT}{\sqrt{2}\pi d^2N_a P} $
Si può arrivare a risolvere questo problema anche senza passare esattamente da questa formula ma da qualcosa di mooolto simile (ora prenderò in prestito qualche ideuzza dall'halliday).

Consideriamo una molecola come una sferetta di diametro d (e chi lo sa che forma ha in realtà?!? bè io faccio finta sia veramente sferica).

Il numero di collisioni che si verificano in un tempo Delta t sarà dato dal numero di molecole che vengono a trovarsi nel cilindretto formato dal moto dell'altra molecola.
Questo cilindretto avrà volume (siamo in fisica..trascuriamo il trascurabile) $ \pi d^2 v_1\Delta t $ dove v_1 è la velocità (usiamo la velocità media per comodità) rispetto alle altre molecole (se per esempio esse si avvicinano con velocità w e la nostra povera molecola stà ferma la velocità in questione sarà w).
Il numero di molecole per unità di volume è N/V.
Quindi il numero di collisioni in un tempo Delta t è $ \pi d^2 v_1\Delta t\frac{N}{V} $
La lunghezza percorsa dalla nostra molecola in un tempo Delta t è $ v_2 \Delta T $ dove v_2 è la velocità "vera" media della molecola rispetto al contenitore del gas.
Voglio sapere la lunghezza media del percorso senza collisioni e dovrò quindi dividere la lunghezza percorsa in un tempo dato per il numero di collisioni in quello stesso tempo ottenendo quindi:

$ L=\frac{v_2 \Delta t V}{v_1 \Delta t \pi d^2N} $
e poichè la densità è bassa si può considerare il gas come perfetto ottenendo:
$ \frac{v_2 nRT}{v_1 \pi d^2N P} $
$ = \frac{v_2 RT}{v_1 \pi d^2N_a P} $

Arrivare fino a questo punto non è impossibile, molte idee sono le stesse usate nel famigerato sns 2006 n 4 e sono quindi da tenere abbastanza a mente..

Per ottenere la formula iniziale basterebbe determinare il rapporto v_1/v_2 ma spero proprio che si accontentassero di ciò perchè penso che determinarlo non si affatto banale.
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rargh
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Messaggio da rargh » 01 ago 2007, 14:25

Immagino che la velocità assoluta media e la velocità relativa media si calcolino a partire dalla distribuzione delle velocità delle molecole.

Abbiamo tre distribuzioni indipendenti: una per le velocità lungo x, una per quelle lungo y e una per quelle lungo z. Non so che distribuzioni abbiano... ma per determinare il rapporto tra v1 e v2 non mi serve saperlo, basta un'ipotesi molto più semplice.

E[|v2|] approx = [E[|v2|^2]^(1/2)

Qual'è la distribuzione delle velocità relative? E' la distribuzione della differenza tra due campioni presi dalla nostra distribuzione di velocità assolute (ancora una volta abbiamo tre distribuzioni indipendenti per i tre assi cartesiani)

L'ipotesi semplificativa: la correlazione tra le due velocità in questione è 0 (che è meno restrittiva dell'ipotesi che le velocità siano indipenenti).



v1=va-vb

E[|v1|^2]=E[(v1*v1)]=E[(va*va)]+E[(vb*vb)]-2*E[(va*vb)]

per l'ipotesi di correlazione nulla tra va e vb:

E[(va*vb)]=0

Dato che va e vb sono due campioni della stessa distribuzione di v2:

E[(va*va)]=E[(vb*vb)]=E[|v2|^2]

da cui deduci finalmente che:

E[|v1|^2]=2*E[|v2|^2]


quindi

E[|v1|] approx = sqrt(2) * E[|v2|]

memedesimo
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Messaggio da memedesimo » 02 ago 2007, 09:51

Forse basta una cosa rozza...

una molecola che si muove a velocità V, supponendo le altre molecole puntiformi e la nostra molecola col raggio doppio (trucco dell'halliday) spazza un volume di 3,14*d^2*v*deltaT. rozzamente diciamo che V*deltaT è il libero cammino medio L e che il volume spazzato è uguale al volume mediamente disponibile per ogni molecola, pari a V/N=Kb*T/P (questo risulta da pv=nrt)

dal che si ottiene 3,14*d^2*L=Kb*T/P e L=T*Kb/(3,14*d^2*P)

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