Uomo In Barca
Uomo In Barca
Ho bisogno di aiuto con questo: il risultato che ottengo è leggermente diverso da quello riportato sul libro. Allora, un uomo attraversa un fiume largo 500 m. Egli rema con velocità (relativa all'acqua) di 3 km/h, mentre la corrente ha una velocità di 2 km/h. L'uomo può camminare sulla riva a una velocità di 5 km/h. Determinare il tempo minimo impiegato e il percorso da seguire per raggiungere l'altra riva nel punto opposto a quello di partenza.
Esiste un modo più simpatico per farlo, sicuramente, ma i miei vaneggiamenti mattutini mi hanno portato a questo.
Supponendo che la corrente scorra verso sinistra, e che il nostro amico sia abbastanza intelligente da non remare in direzione della corrente bensì controcorrente, allora può remare in una direzione che forma con la riva del fiume (che si suppone rettilinea) un angolo $ \alpha \leq \pi/2 $
Detto ciò, si può calcolare il tempo $ t_1 $ che impiegherà ad attraversare il fiume in barca, sommandolo al tempo $ t_2 $di percorrenza a piedi della riva per raggiungere l'arrivo (può anche spostarsi prima di imbarcarsi, sulla riva di partenza, non cambia molto).
Andiamo in ordine:
$ \displaystyle t_1 = \frac{0,5 \, km}{ \sin \alpha \cdot 3 \, km/h } $
Avendo supposto che l'amico remi controcorrente, nel tempo t1 avrà percorso una distanza, parallelamente alle rive del fiume, che dovrà poi colmare a piedi. Il tempo di percorrenza a piedi è quindi:
$ \displaystyle t_2 = \frac {t_1 \cdot | 2 \, km/h - \cos \alpha \cdot 3 \, km/h | }{5 \, km/h} $
Il valore assoluto è giustificato dal fatto che, a seconda di $ \alpha $, il tizio può approdare sull'altra riva a destra o a sinistra del punto opposto, e in ogni caso deve arrivarci a piedi.
Il tempo totale è quindi la somma tra i due, ovvero
$ \displaystyle t_{tot} = \frac{0,5 \, km}{ \sin \alpha \cdot 3 \, km/h } \left( 1 + \frac { | 2 \, km/h - \cos \alpha \cdot 3 \, km/h | }{5 \, km/h}\right) $
Poi, tanti auguri con l'analisi (che io so veramente poco ). I casi particolari mi sembra siano due:
Quando il marinaio rema dritto verso la riva, $ \alpha = 0 $ allora l'espressione assume il valore (calcolabile anche a occhio con due moltiplicazioni) di $ 7/30 \, h = 14 \, min $
Quando il marinaio approda direttamente sul punto, allora $ t_2 $ va a zero, quindi $ \cos \alpha = 2/3 $. Allora $ \sin \alpha = \sqrt{5}/3 $, e $ \displaystyle t_1 = \frac{\sqrt{5}}{10} \, h = 13,416 \, min $, che mi sa tanto (a naso eh!) di lower bound.
Imploro chi è più esperto di me di valutare, correggere, e se sbaglio insultare a piacimento.
EDIT: ma perchè ho imposto che il tipo remi controcorrente, quando la formula funziona anche per $ \alpha \leq \pi $ ?
Supponendo che la corrente scorra verso sinistra, e che il nostro amico sia abbastanza intelligente da non remare in direzione della corrente bensì controcorrente, allora può remare in una direzione che forma con la riva del fiume (che si suppone rettilinea) un angolo $ \alpha \leq \pi/2 $
Detto ciò, si può calcolare il tempo $ t_1 $ che impiegherà ad attraversare il fiume in barca, sommandolo al tempo $ t_2 $di percorrenza a piedi della riva per raggiungere l'arrivo (può anche spostarsi prima di imbarcarsi, sulla riva di partenza, non cambia molto).
Andiamo in ordine:
$ \displaystyle t_1 = \frac{0,5 \, km}{ \sin \alpha \cdot 3 \, km/h } $
Avendo supposto che l'amico remi controcorrente, nel tempo t1 avrà percorso una distanza, parallelamente alle rive del fiume, che dovrà poi colmare a piedi. Il tempo di percorrenza a piedi è quindi:
$ \displaystyle t_2 = \frac {t_1 \cdot | 2 \, km/h - \cos \alpha \cdot 3 \, km/h | }{5 \, km/h} $
Il valore assoluto è giustificato dal fatto che, a seconda di $ \alpha $, il tizio può approdare sull'altra riva a destra o a sinistra del punto opposto, e in ogni caso deve arrivarci a piedi.
Il tempo totale è quindi la somma tra i due, ovvero
$ \displaystyle t_{tot} = \frac{0,5 \, km}{ \sin \alpha \cdot 3 \, km/h } \left( 1 + \frac { | 2 \, km/h - \cos \alpha \cdot 3 \, km/h | }{5 \, km/h}\right) $
Poi, tanti auguri con l'analisi (che io so veramente poco ). I casi particolari mi sembra siano due:
Quando il marinaio rema dritto verso la riva, $ \alpha = 0 $ allora l'espressione assume il valore (calcolabile anche a occhio con due moltiplicazioni) di $ 7/30 \, h = 14 \, min $
Quando il marinaio approda direttamente sul punto, allora $ t_2 $ va a zero, quindi $ \cos \alpha = 2/3 $. Allora $ \sin \alpha = \sqrt{5}/3 $, e $ \displaystyle t_1 = \frac{\sqrt{5}}{10} \, h = 13,416 \, min $, che mi sa tanto (a naso eh!) di lower bound.
Imploro chi è più esperto di me di valutare, correggere, e se sbaglio insultare a piacimento.
EDIT: ma perchè ho imposto che il tipo remi controcorrente, quando la formula funziona anche per $ \alpha \leq \pi $ ?
[b]Come on, come over, as fast as you can
You're afraid you won't like it, but you don't understand
One thing my brother, i'll tell you the truth,
The more time you spend feeling happy, the less time you'll feel blue.
(Jaco Pastorius)[/b]
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One thing my brother, i'll tell you the truth,
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(Jaco Pastorius)[/b]
Ok, allora direi che il libro sbaglia (dicendo 11 minuti). By the way, il minimo della tua funzione (calcolato con un programma!) viene all'incirca dodici minuti e mezzo (strano ma vero: il tipo non deve fare in modo di andare diritto per minimizzare), lo stesso risultato che ottenevo io. Scriverò una lettera agli autori con le mie rimostranze....
Grazie!!
Grazie!!
Calma, prima di scrivere rimostranze aspettiamo gli esperti, potrei anche aver smaronato io nello scrivere quella roba, anche se mi sembra che funzioni bene... però non calcola traiettorie con deviazioni (anche se non mi sembra possano servire allo scopo) o curve (che invece potrebbero fregarci)
Curiosità, a che angolo corrisponde il minimo?
Curiosità, a che angolo corrisponde il minimo?
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You're afraid you won't like it, but you don't understand
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(Jaco Pastorius)[/b]
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uhm, due minimi differenti... strano!
Non per dubitare di te luca, ma hai messo il valore assoluto quando l'hai inserita nel programma?
Non per dubitare di te luca, ma hai messo il valore assoluto quando l'hai inserita nel programma?
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(Jaco Pastorius)[/b]
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Sìsì ho messo il valore assoluto e il minimo risulta qualcosa come 0.21 h che sono pressapoco dodici minuti e mezzo. Anche l'angolo che ottengo non è un risultato simpatico. E sinceramente non saprei come estendere il discorso includendo le traiettorie curvilinee! Mi sa che come problema non era molto istruttivo... Preso dall'Halliday-Resnick anyway.
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