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Un oggetto di massa m si trova all'altezza h (dalla superficie) nell'orbita di un pianeta di massa M e raggio R (è sottointeso m<<M).
Supponendo che cominci a cadere sul pianeta qual è il tempo T necessario affinchè l'oggetto tocchi la superficie?

ps.odio gli integrali..

senza equazioni differenziali ed integrali la vedo proprio difficile...

E invece si fa proprio senza nulla di tutto ciò... Il problema è abbastanza "famoso", lo diedero un paio di anni fa al test SNS e la sua bellezza sta proprio nel fatto che non si fa con metodi bruti ma con un'idea davvero phiga...

Boll ha scritto:E invece si fa proprio senza nulla di tutto ciò... Il problema è abbastanza "famoso", lo diedero un paio di anni fa al test SNS e la sua bellezza sta proprio nel fatto che non si fa con metodi bruti ma con un'idea davvero phiga...

cioè?

Domanda molto stupida... la forza di attrazione gravitazionale la posso supporre costante?

luiz ha scritto:

Boll ha scritto:E invece si fa proprio senza nulla di tutto ciò... Il problema è abbastanza "famoso", lo diedero un paio di anni fa al test SNS e la sua bellezza sta proprio nel fatto che non si fa con metodi bruti ma con un'idea davvero phiga...

cioè?

Prima il nostro corpo orbitava di orbita circolare attorno alla massa grossa, quindi eguagliando forza centripeta e forza di attrazione gravitazionale e usando le formule per il moto circolare avremo che il periodo di rivoluzione era

$ $ T_0^2=\frac{4\pi^2R}{GM} $

Ora lasciando cadere, approssimiamo il segmento ad un ellisse degenere, quindi cadendo compieremo solo mezzo percorso e applicando la terza legge di Keplero (che vale per m molto minore di M):

$ \displaystyle \frac{{T_0^2 }}{{\left( {2T} \right)^2 }} = \frac{{R^3 }}{{\left( {\frac{{R }}{2}} \right)^3 }} $
$ $T^2=\frac{T_0^2}{32} $
$ $T=\sqrt{\frac{\pi^2R}{8GM}} $

jordan ha scritto:Un oggetto di massa m si trova all'altezza h (dalla superficie) nell'orbita di un pianeta di massa M e raggio R (è sottointeso m<<M).
Supponendo che cominci a cadere sul pianeta qual è il tempo T necessario affinchè l'oggetto tocchi la superficie?

ps.odio gli integrali..

Scusate, ma allora il problema era molto mal posto:
il ragionamento di Boll vale solo se h>>R (cioè se R è una quantità trascurabile), ma se è così che senso ha dire 'all'altezza h dalla superficie ... di un pianeta di ... raggio R'?

In effetti se h<R l'ipotesi di forza costante porta a una previsione molto migliore.

con il calcolo integrale invece come andava fatto?

Boll ha scritto:Ora lasciando cadere, approssimiamo il segmento ad un ellisse degenere, quindi cadendo compieremo solo mezzo percorso e applicando la terza legge di Keplero (che vale per m molto minore di M):

$ \displaystyle \frac{{T_0^2 }}{{\left( {2T} \right)^2 }} = \frac{{R^3 }}{{\left( {\frac{{R }}{2}} \right)^3 }} $
$ $T^2=\frac{T_0^2}{32} $
$ $T=\sqrt{\frac{\pi^2R}{8GM}} $

Scusate ma non riesco a capire una cosa: l'ellisse degenere non ha un semiasse maggiore che vale sempre $ $R$ $? E poi cadendo non compie soltanto un quarto del tragitto totale?
Tanto per capirci, il segmento, che sarebbe poi l'ellisse degenere, ha come punto medio la massa sulla quale sta cadendo il corpo?

Anch'io non capivo sta cosa
No, il segmento è l'intero asse maggiore dell'ellisse. Puoi vederla come un'orbita che fa un giro molto stretto intorno al pianeta.
In effetti il pianeta non può essere il punto medio perché deve stare in uno dei fuochi.
Però, domanda: se il satellite potesse passare attraverso il pianeta, l'orbita non sarebbe proprio un segmento lungo 2R?