Cilindro e momento angolare

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Kyara
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Cilindro e momento angolare

Messaggio da Kyara » 20 giu 2007, 09:28

un cilindro di ghiaccio secco di massa M=300 g ruota sul proprio asse ad una frequenza f=8 Hz.
Per evaporazione la sua massa, nell'intervallo di tempo di 10 minuti, si riduce a 270 g, restando un cilindro dello stesso raggio.
Determinare la sua frequena di rotazione e la velocità angolarefinale.
Si considerino trascurabili tutti i possibili attriti in gioco.
Si ricorda che il momento di inerzia di un cilindro intorno al proprio asse è I=(1/2 MR2)
dove R è il raggio del cilindro
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Salva
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Messaggio da Salva » 20 giu 2007, 11:09

allora: io uso $ M $ per il momento angolare, $ \omega $ per la velocità angolare, $ \nu $ per la frequenza


imposta l'equazione della conservazione del momento angolare:

$ M_1 = M_2 $
$ I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2 $
dato che $ I = \frac{1}{2} m r^2 $ e $ \omega = 2 \pi \nu $ possiamo scrivere:
$ \frac{1}{2} m_1 r^2 2 \pi \nu_1 = \frac{1}{2} m_2 r^2 2 \pi \nu_2 $
semplifichiamo della robaccia (come $ \frac{1}{2} $, $ r^2 $ e $ 2 \pi $), rigiriamo un poco l'equazione, resta $ \displaystyle \nu_2 = \frac{m_1 \nu_1}{m_2} $

quindi la frequenza che cerchi è uguale a $ \displaystyle \frac{300 \, g}{270 \, g}\cdot 8 \, H\!z = \frac{80}{9} \, H\!z \approx 8,9 \, H\!z $, la velocità angolare è la frequenza per $ 2 \pi $, ovvero $ \displaystyle \frac{80}{9}\,H\!z \cdot 2 \pi = \frac{160 \pi}{9} \frac{rad}{s} \approx 55,85 \, \frac{rad}{s} $

a meno di clamorosi errori di calcolo dovuti al fatto che è mattina, dovremmo esserci.
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shuzz
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Messaggio da shuzz » 20 giu 2007, 11:28

Secondo me la sua frequenza resta invariata: $ f_{finale}=8Hz $; infatti oltre a considerare il momento angolare del cilindro dopo l'evaporazione, dobbiamo considerare anche il momento angolare della massa evaporata.

Oppure si potrebbe imporre la consertvazione dell'energia, trascurando il calore acquisito dal corpo durante l'evaporazione. Quindi:

$ \frac{1}{2}I_{iniziale}\omega_{iniziale}^2=\frac{1}{2}I_{finale}\omega_{finale}^2+\frac{1}{2}mv^2 $

dove $ \frac{1}{2}mv^2 $ è l'energia cinetica delle particelle evaporate, e che è uguale a quella che avevano la momento del distacco dal corpo. Quindi è come se non si fossero mai staccate; perciò se la frequenza finale del corpo fosse maggiore di quella iniziale allora si avrebbe un aumento di energia totale, che è impossibile avendo trascurato il calore ceduto dall'ambiente.

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Kyara
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eh no

Messaggio da Kyara » 20 giu 2007, 11:36

mi dispiace deluderti ma era esatta la prima soluzione
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Messaggio da shuzz » 20 giu 2007, 13:00

Ma ne sei sicuro perchè hai il risultatto di un libro o pensi solo che sia giusta la prima soluzione?

Ti faccio un esempio: considera la seguente sbarretta


O=====OO=====I=====OO======O


messa in rotazione rispetto all'asse della I. Se ad un certo punto due delle masse interne (le O) si staccano, secondo te la sbattetta ruoterà più velocemente?

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Kyara
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Messaggio da Kyara » 20 giu 2007, 14:49

è il risultato che riporta la dispensa del professore!
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shuzz
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Messaggio da shuzz » 20 giu 2007, 15:03

Non so che dire. Io sono sicuro che la velocità angolare non aumenti.
Secondo te si può schematizzare questo problema come la sbarretta che ho "disegnato"? Se il modello va bene allora basta dimostrare che la frequenza aumenta, o non aumenta per vedere come si dovrebbe comportare approssimativamente anche il cilindro.

Salva
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Messaggio da Salva » 20 giu 2007, 15:57

hai ragione shuzz, ma questa è una semplificazione del tipo "solo meccanica - applicazione formule". Io l'ho risolto così a naso perchè, essendo al liceo, ne ho fatti migliaia di sti problemi e sono abituato a queste semplificazioni, ma se fossi più avanti negli studi probabilmente avrei considerato molti altri fattori.

E comunque, le particelle evaporate dopo un po' non si fermano? Se sì, considerando cilindro e particelle come un sistema isolato, il loro momento angolare va poi a zero, quindi il cilindro compensa... (se è una domanda idiota sei autorizzato a castigarmi)

EDIT: mi castigo da solo, se trascuriamo gli attriti le particelle evaporate non si fermano :D
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shuzz
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Messaggio da shuzz » 20 giu 2007, 19:03

Credo che considerando anche l'attrito, alla fina le particelle evaporate sono "ferme" rispetto alle altre particelle di aria, ma tutta l'aria nella stanza, o comunque entro i confini del sistema isolato, sia in leggera rotazione intorno all'asse iniziale di rotazione. Comunque questi sistemi sono troppo complicati, non credo si possano studiare con semplicità senza apportare pesanti semplificazioni.

BMcKmas
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Messaggio da BMcKmas » 21 giu 2007, 12:28

Sono d'accordo con shuzz. Se non ci sono attriti il disco conserva la sua velocità angolare nella sublimazione.
Pensate infatti di continuare a sublimare fino a che la massa va a zero: la velocità andrebbe a infinito! :shock:

ciao
BMcKMas

"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio

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