Una sfera su un piano

[memedesimo]

Secondo me sarebbe alquanto strano che a zero gradi la posizione sia stabile, mentre diventi instabile a 0,0001 gradi...non credi?
se una posizione è di equilibrio stabile , ci deve essere un intorno di quella posizione per cui le forze sono dirette in modo da far tornare la posizione quella di partenza. se si cambia di poco la posizione di partenza, dovrebbe valere ancora il fatto che la situazione è di equilibrio stabile!

Comunque hai ragione quando parli del baricentro: infatti non ci può essere equilibrio per l'angolo di 30 gradi. l'angolo massimo per cui c'è equilibrio è circa 22 gradi.

Ciao!

[BMcKmas]

Hai ragione (avevo considerato solo i casi limite di angolo massimo ) rettifico la risposta.

Chiamata $ r $ la distanza del baricentro $ G $ dal centro $ C $ della sfera (deve essere $ r<3/8R $) l'equilibrio si ottiene in due configurazioni per ogni angolo di inclinazione del piano $ \alpha $ tale che: $ \sin(\alpha) < r/R $ (ammesso che l'attrito sia sufficiente).

Geometricamente le configurazioni si ottengono tracciando la verticale dal punto di contatto e intersecando la sfera di centro $ C $ e raggio $ r $, le eventuali intersezioni sono le posizioni che deve assumere il baricentro $ G $ .
Una di tali configurazioni è stabile (quella con il baricentro più in basso di $ C $ ) l'altra è instabile.

Nel caso in cui $ \sin(\alpha) = r/R $ le due configurazioni coincidono (la verticale è tangente alla sfera di raggio $ r $ ) e sono instabili.

Confermo quindi che la massima inclinazione possibile per avere equilibrio (instabile tuttavia) è circa 22° raggiungibile solo se una delle due semisfere ha massa trascurabile.

ciao

[3C273]

Chiamata $ r $ la distanza del baricentro $ G $ dal centro $ C $ della sfera (deve essere $ r<3/8R $) l'equilibrio si ottiene in due configurazioni per ogni angolo di inclinazione del piano $ \alpha $ tale che: $ \sin(\alpha) < r/R $ (ammesso che l'attrito sia sufficiente).

Geometricamente le configurazioni si ottengono tracciando la verticale dal punto di contatto e intersecando la sfera di centro $ C $ e raggio $ r $, le eventuali intersezioni sono le posizioni che deve assumere il baricentro $ G $ .
Una di tali configurazioni è stabile (quella con il baricentro più in basso di $ C $ ) l'altra è instabile.

Nel caso in cui $ \sin(\alpha) = r/R $ le due configurazioni coincidono (la verticale è tangente alla sfera di raggio $ r $ ) e sono instabili.

E questo è esattamente quello che pensavo anch'io fino a ieri... consideriamo però la posizione di equilibrio "stabile" di $ G $ descritta da BMcKmas e chiamiamola $ G_S $: avevo anche verificato che si trattasse di equilibrio stabile scrivendo la traiettoria di quel punto (una simil-cicloide) per verificare che si trattasse di un minimo dell'energia potenziale. Ora però mi sono resa conto che avevo vincolato il centro di massa a muoversi su un piano perpendicolare al piano inclinato, ma questo non è detto! Infatti, la sfera è libera di ruotare intorno all'asse perpendicolare al piano inclinato e passante per il punto di tangenza. Considerando questo grado di libertà in più, $ G_S $ non è più un minimo: non è più vero infatti che comunque la sfera si muova il centro di massa si deve alzare. Se la sfera ruota intorno all'asse che ho descritto, $ G $ si muove su un piano parallelo al piano inclinato e si abbassa! Per cui concluderei che anche la posizione $ G_S $ è di equilibrio instabile, e quindi per la sfera non esistono posizioni di equilibrio stabile su un piano inclinato. Il discorso cambia con un cilindro che ruota, perchè a quel punto (sempre con attrito sufficiente, altrimenti salta tutto) il centro di massa è davvero vincolato a muoversi su un piano...

Il ragionamento che ho fatto adesso è qualitativo, ma mi sembra che funzioni... o sbaglio di grosso? ...Anche perchè al momento non saprei come rispondere all'osservazione di memedesimo:

Secondo me sarebbe alquanto strano che a zero gradi la posizione sia stabile, mentre diventi instabile a 0,0001 gradi...non credi?
se una posizione è di equilibrio stabile , ci deve essere un intorno di quella posizione per cui le forze sono dirette in modo da far tornare la posizione quella di partenza. se si cambia di poco la posizione di partenza, dovrebbe valere ancora il fatto che la situazione è di equilibrio stabile!

Ciao!

[moebius]

Molto poeticamente... Avete rotto una delle simmetrie del sistema

[memedesimo]

@3C273: effettivamente non avevo pensato a quel caso, ma mi pare che il CDM si alzi comunque se la retta che congiunge il centro geometrico della sfera e il CDM si trova nel piano perpendicolare alla superficie del piano inclinato (spero si sia capito...)

[3C273]

Sinceramente non ho ben capito cosa intendi, ma a me sembra che abbia sempre la possibilità di abbassarsi... se fosse già nella posizione più bassa non potrebbe stare sopra il punto di tangenza (ho qua sottomano un bel disegnino col quale sarebbe più semplice discutere ) e la sfera quindi rotolerebbe in giù...

Mi sa che non mi sono spiegata... ma magari tu mi hai capito lo stesso
Ciao!

[gennarob86]

anche se non ho capito bene i calcoli vostri, ho fatto delle considerazioni:

se la massa è concentrata solo in una semisfera, possiamo assimilare la sfera a una semisfera.

consideriamo a questo punto la massa della semisfera come uniformemente distribuita, cioè densità costante

in queste ipotesi, il baricentro si trova a $ \pi r^4/4 $ dal centro 0 della sfera. ovvero, il baricentro si trova molto vicino al punto di appoggio della semisfera (se il raggio è 1, il baricentro si trova a 0,2 da terra.) l'ho calcolato ovvimente con un integrale triplo, con la formula per le coordinate del baricentro di un sistema continuo.

anche se non ho idea di come si calcola il limite di pendenza, la semisfera è stabilissima!!! piu la inclino, e piu si crea una coppia ribaltante (-mg applicata nel baricentro, e r reazione del suolo applicata nel punto di contatto) che la rimette subito nella sua posizione. addirittura se la metto verticale, la coppia di braccio esattamente $ \pi r^4/4 $ subito me la rimette a posto.

a questo punto per quale motivo la sfera completa, che però ha una semisfera di massa trascurabile, non dovrebbe restare in equilibrio con una pendenza di soli 30 gradi???

[memedesimo]

allora, a quanto ne ho capito io, la cosa funziona così: la sfera può muoversi lungo il piano inclinato in qualsiasi direzione, ma rimanendo attaccata a esso. consideriamo i due gradi di libertà: può rotolare giù o su per il piano inclinato (e qui abbiamo verificato che l'equilibrio è stabile) oppure può rotolare in modo da rimanere sempre alla stessa "altezza" (intendo il centro geometrico della sfera), cioè senza abbassarsi. facendo rotolare la sfera in questo secondo modo, il CDM si troverà a occupare periodicamente le stesse posizioni, quindi un minimo ci deve essere per forza, o sbaglio? e comunque questo caso è uguale a quello di un piano orizzontale, se non erro.

Ciao!

[memedesimo]

@gennarob86: non ho capito il tuo ragionamento, comunque a me viene che il baricentro di una semisfera si trova a distanza 3/8R dove R è il raggio della sfera, mentre non capisco come possa dipendere dalla potenza quarta del raggio. (il baricentro dipende solo dalle caratteristiche geometriche e quindi deve avere dipendenza lineare dalle lunghezze)

[gennarob86]

@gennarob86: non ho capito il tuo ragionamento, comunque a me viene che il baricentro di una semisfera si trova a distanza 3/8R dove R è il raggio della sfera, mentre non capisco come possa dipendere dalla potenza quarta del raggio. (il baricentro dipende solo dalle caratteristiche geometriche e quindi deve avere dipendenza lineare dalle lunghezze)

scusami avevi ragione tu, ho scritto una sciocchezza... cmq sono daccordo col tuo risultato, che risulta anche a me dalla formula per il calcolo del baricentro. devi fare un integrale triplo: la formula per il calcolo del baricentro è $ zG=\displaystyle(\int\int\int_{semisfera}p^2 sen(\phi) p cos(\phi)dp d\phi d\theta)/(vol _{semisfera}) $ con$ p^2sen(\phi) $ lo jacobiano, $ pcos(\phi) $ il cambio in coordinate polari della variabile z . quindi l'integrale calcolato in coordinate polari.
ti scrivo solo il secondo passaggio e il risultato

$ =\displaystyle\int_0^{2\pi} d\theta\int_0^rp^3dp\int_0^{\pi/2} sen(\phi) cos(\phi)d\phi=({\pi}r^4/4)/(2{\pi}r^3/3) =3r/8 $

[memedesimo]

purtroppo non so cosa sia un integrale triplo, ma io l'ho calcolato con un integrale normale e anche abbastanza banale...sono anche abbastanza sicuro del procedimento.

prova a considerare la sfera come composta da tanti dischi messi uno sopra l'altro!

[3C273]

[...] oppure può rotolare in modo da rimanere sempre alla stessa "altezza" (intendo il centro geometrico della sfera), cioè senza abbassarsi. facendo rotolare la sfera in questo secondo modo, il CDM si troverà a occupare periodicamente le stesse posizioni, quindi un minimo ci deve essere per forza, o sbaglio?

Ecco come la vedo io:
Un minimo c'è, e se potesse rotolare SOLO in questo secondo modo sarebbe stabilissimo. Il punto è che questo minimo non è una posizione di equilibrio (nemmeno instabile) per quanto riguarda il primo movimento. Questo perchè non si trova sulla verticale che passa per il punto d'appoggio. Al contrario, la posizione $ G_S $ è un minimo per quanto riguarda il primo movimento ma è un massimo per quanto riguarda il secondo, cioè è un punto di sella e la posizione di equilibrio è instabile. Per cercare di giustificare le cose che ho detto, consideriamo la superficie sferica di centro $ C $ e raggio $ r $ (secondo la notazione di BMcKmas) e chiamiamola $ \sigma $. L'intersezione più bassa di $ \sigma $ con la verticale passante per il punto d'appoggio è $ G_S $. Ora, sia $ \pi $ il piano parallelo al piano inclinato e passante per $ G_S $. L'intersezione tra $ \sigma $ e $ \pi $ è una circonferenza, ed è la circonferenza su cui si muove $ G_S $ se la sfera ruota attorno all'asse perpendicolare al piano inclinato e passante per il punto d'appoggio. Ma $ G_S $ si trova sempre nel punto più alto di questa circonferenza, per costruzione.
Quindi non esistono posizioni di equilibrio stabile per la sfera su un piano inclinato...
La cosa ti convince, o c'è qualcosa che non va?

e comunque questo caso è uguale a quello di un piano orizzontale, se non erro.

Qui non ho capito cosa intendi!
Ciao ciao

[moebius]

Semplicemente, credo, si sia sbagliato... non è uguale al piano orizzontale

[memedesimo]

aspettate, vi dovrei fare vedere il disegno...

[moebius]

Nel senso che ce lo farei vedere o vorresti farcelo vedere? Perchè a questo punto, forse, sarebbe bene fare un disegno visibile a tutt sul quale discutere...