Mostrare che una geodetica dello spaziotempo che è Time-like ad un dato evento, è ovunque Time-like. Analogamente dimostrarlo per geodetiche Space-like e nulle.
[suggerimento: questo esercizio è VERAMENTE semplice.]
Una volta Time-like, per sempre Time-like
Una volta Time-like, per sempre Time-like
Metric as foundation of all
m... non so niente di relatività generale, ma credo (o spero :p) che così funzioni:
sia $ \nabla $ la connessione di Levi-Civita (che esiste unica anche per varietà pseudo-riemanniane se non sbaglio) e $ \langle \cdot,\cdot \rangle_p $ il prodotto scalare sul tangente in $ p $ indotto dalla metrica della varietà. Allora dovrebbe valere (per varietà riemanniane vale, ma mi pare sia esattamente identico per pseudo-riemanniane):
$ \nabla_X \langle Y, Z \rangle = \langle \nabla_X Y, Z \rangle + \langle Y, \nabla_X Z \rangle $
In particolare, se $ \sigma(t) $ è una geodetica, la sua derivata covariante è nulla, cioè $ \nabla_{\sigma'} \sigma' = 0 $, e di conseguenza
$ \displaystyle {d\over dt}\langle\sigma'(t), \sigma'(t)\rangle_{\sigma(t)} = \nabla_{\sigma'(t)} \langle \sigma'(t), \sigma'(t) \rangle_{\sigma(t)} = 0 $
per la proprietà enunciata poco sopra. Quindi le geodetiche hanno norma del vettore tangente costante, il che ci dà direttamente la tesi del problema.
[nota: quando applico la connessione "derivando" rispetto al vettore tangente della geodetica intendo dire che si può trovare un campo vettoriale locale che estende quello dato dal vettore tangente lungo la geodetica. Inoltre forse (non ricordo bene se è vero o no) alcune delle formule che ho usato sono per geodetiche parametrizzate rispetto alla lunghezza d'arco, che nel caso di metriche pseudo-riemanniane non so cosa voglia dire visto che si può avere norma 0 del vettore tangente]
sia $ \nabla $ la connessione di Levi-Civita (che esiste unica anche per varietà pseudo-riemanniane se non sbaglio) e $ \langle \cdot,\cdot \rangle_p $ il prodotto scalare sul tangente in $ p $ indotto dalla metrica della varietà. Allora dovrebbe valere (per varietà riemanniane vale, ma mi pare sia esattamente identico per pseudo-riemanniane):
$ \nabla_X \langle Y, Z \rangle = \langle \nabla_X Y, Z \rangle + \langle Y, \nabla_X Z \rangle $
In particolare, se $ \sigma(t) $ è una geodetica, la sua derivata covariante è nulla, cioè $ \nabla_{\sigma'} \sigma' = 0 $, e di conseguenza
$ \displaystyle {d\over dt}\langle\sigma'(t), \sigma'(t)\rangle_{\sigma(t)} = \nabla_{\sigma'(t)} \langle \sigma'(t), \sigma'(t) \rangle_{\sigma(t)} = 0 $
per la proprietà enunciata poco sopra. Quindi le geodetiche hanno norma del vettore tangente costante, il che ci dà direttamente la tesi del problema.
[nota: quando applico la connessione "derivando" rispetto al vettore tangente della geodetica intendo dire che si può trovare un campo vettoriale locale che estende quello dato dal vettore tangente lungo la geodetica. Inoltre forse (non ricordo bene se è vero o no) alcune delle formule che ho usato sono per geodetiche parametrizzate rispetto alla lunghezza d'arco, che nel caso di metriche pseudo-riemanniane non so cosa voglia dire visto che si può avere norma 0 del vettore tangente]
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
-
gennarob86
- Messaggi: 26
- Iscritto il: 10 mag 2007, 11:25
a qualcuno va di spiegarmi di che si tratta?? 
mi sembra di capire che cio ha a che fare con la relatività generale.... argomento che mi affascina ma che purtroppo non approfondirò mai nel mio corso di studi (il corso di FISICA MODERNA non è previsto nel mio corso di laurea, anzi non è proprio previsto per ingegneria!!!).
mi sembra di capire che cio ha a che fare con la relatività generale.... argomento che mi affascina ma che purtroppo non approfondirò mai nel mio corso di studi (il corso di FISICA MODERNA non è previsto nel mio corso di laurea, anzi non è proprio previsto per ingegneria!!!).