Equazione differenziale di una cisterna

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MateCa
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Equazione differenziale di una cisterna

Messaggio da MateCa » 30 nov 2006, 14:08

Non so se sia il posto giusto, semmai spostatelo...

Allora, sia data una cisterna di area si base A con un flusso in ingresso (in alto) e uno in uscita (in basso). Detta Pi la portata in ingresso che si suppone costante, e Pu la portata d'uscita (che dipende dall'altezza dell'acqua nella cisterna secondo la formula $ P_u=S\sqrt{2gh(t)} $, dove S rappresenta la sezione del tubo in uscita), determinare come varia l'altezza dell'acqua nella cisterna in funzione del tempo.

In pratica si tratta di stabilire l'equazione differenziale del sistema (che fornisca il valore dell'altezza dell'acqua), nonchè l'ordine del sistema stesso (cioè il grado dell'equazione differenziale).

Spero di essere stato chiaro, se non capite chiedete pure...
Parlare oscuramente lo sa fare ognuno, ma chiaro pochissimi. (G. Galilei)

pic88
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Messaggio da pic88 » 30 nov 2006, 15:45

quelli di fisica li sbaglio spesso.
allora sia $ h_0 $ l'altezza iniziale
abbiamo che la variazione di altezza è
$ \displaystyle dh=-k \sqrt{2gh}dt $ con k il rapporto tra le aree.
dividendo e integrando abbiamo
$ \displaystyle 2\sqrt {h} = -k \sqrt{2g}t $
elevando al quadrato e rimettendo a posto in modo da avere $ h(0)=h_0 $ troviamo
$ h=-\frac{k^2g}{2}t^2 +h_0 $

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MateCa
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Messaggio da MateCa » 30 nov 2006, 18:56

@pic88

Non capisco solo una cosa: come hai considerato la portata in ingresso?
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Messaggio da pic88 » 30 nov 2006, 20:57

La portata in ingresso è uguale a quella in uscita.
Comunque rileggendo la soluzione non ne sono troppo sicuro. La formula della velocità di uscita è in realtà un'aprossimazione, ottenuta assumendo S/A =0, considerando di conseguenza ferma l'acqua in superficie, e la uso per trovare di quanto scende l'acqua...

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Edmond Dantès
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Messaggio da Edmond Dantès » 30 nov 2006, 21:26

Sto provando maccheronicamente dando dei valori fittizzi alle misure
non conoscendo il calcolo differenziale, data al tempo zero un'altezza di 10 metri,
una velocità di entrata di 2m^3/sec., un tempo di 1 secondo e una sezione d'uscita di 5 metri:

$ P_u=5\sqrt{196} = 68m^3/sec $ il tutto relativo al tempo zero.

Pensate sia un cumulo di errori?
Non sono affato sicuro di questa formula!!!

Edmond
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pic88
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Messaggio da pic88 » 01 dic 2006, 13:47

Edmond Dantès ha scritto:Sto provando maccheronicamente dando dei valori fittizzi alle misure
auguri :P

@MateCa: ti tornano i risultati miei?

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MateCa
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Messaggio da MateCa » 02 dic 2006, 14:16

Allora, propbabilmente ho capito male la tua spiegazione, ma a me non torna proprio.

Premetto che con i calcoli differenziali non vado ancora proprio a nozze, ma a parte quello ci sono un po' di cose che non capisco.

Innanzitutto per ipotesi il problema NON prevede che la portata in ingresso coincida con quella in uscita (forse mi sono spiegato male, scusate), quindi in realtà nell'equazione dell'altezza dell'acqua dovrebbe comparire anche in qualche modo la portata in ingresso.

@Edmond Dantès: in realtà il problema andava risolvo dal punto di vista "informatico", quindi non si tratta di fare calcoli ma solo di trovare una descizione qualitativa al problema.

@pic88: attriti e fenomeni connessi al movimento dell'acqua possono essere trascurati, quindi le approssimazioni che hai fatto sono più che accettabili. Comunque grazie per l'aiuto :wink:
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Edmond Dantès
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Messaggio da Edmond Dantès » 02 dic 2006, 16:23

"Patientia valentum virtus est"

Riproverò XD
ciao
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Messaggio da MateCa » 05 dic 2006, 22:22

Non c'è proprio nessuno che lo sappia risolvere?
Avrei bisogno in fretta di una risposta....Grazie!
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Messaggio da Cmax » 06 dic 2006, 15:11

La quantità totale di acqua nelle cisterna è Ah, e se “portata” significa “volume di acqua in ingresso o uscita per unità di tempo”, l’equazione di bilancio è $ \frac{\partial Ah}{\partial t} = P_i - P_u $, ovvero $ \dot{h} = \frac{P_i}{A} - \frac{\sqrt{2g}S}{A} \sqrt{h} $.
Esiste una soluzione costante quando $ P_i = P_u $, cioè $ h_c = \frac{P_i^2}{2gS^2} $. Se $ h>h_c $ si ha $ P_u > P_i $, e quindi $ \dot{h}<0 $, e $ h(t) $ è decrescente. È crescente nel caso contrario: tende a stabilizzarsi su $ h_c $.
Ponendo $ \sqrt{h} = u $ si ottiene l'equazione $ u \dot{u} = a - bu $, dove $ a = P_i/2A; b = \sqrt{2g} S /2A $. Si tratta di un'equazione di Abel del secondo tipo, ed al momento non ne ricordo integrali analitici, ma non mi sento di escludere che esistano.

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