[Meccanica] - Superficie sinusoidale

[bh3u4m]

E' data una superficie con altezza $ h = h_0 \cos(kx) $ dove x è la coordinata delle ascisse. Una particella materiale parte dal punto x = 0 con velocità v. Trovare le condizioni per cui si può distaccare dalla superficie.

[BMcKmas]

A parte condizioni limite (ovvero per $ h_0>0 $, $ 1/k \neq 0 $ e $ v_x^2 < \frac{g}{k^2h_0} $ ) mi sa che si stacca sempre!

[SkZ]

posto $ ~h(x) $ che abbia $ ~h(0)=h_0 $ e $ ~h'(0)=0 $ e restringo il dominio al solo sottoinsieme connesso contenente $ ~0 $ tale che $ ~h(x)\leq h_0 $.
posto $ ~V(0)=V_0 $

per il distacco dobbiamo avere
$ $\frac{V^2}{R}>g_{\perp}$ $

la curvatura e' data da
$ $ \frac{1}{R} = \frac{\left|\frac{\textrm{d}^2h}{{\textrm{d}x}^2}\right|} {\left(1+\frac{\textrm{d}h}{\textrm{d}x} ^2\right)^{\frac{3}{2}}}$ $

$ ~V^2=V_0^2+2g(h_0-h)=V_0^2+2gh_0(1-\frac{h}{h_0}) $

$ ~g_{\perp}=g\sin{\alpha}>0 $ e $ $\tan{\alpha}= -\frac{1}{\frac{\textrm{d}h}{\textrm{d}x}} $ $, quindi $ $g_{\perp}= g\frac{\left|\frac{\textrm{d}h}{\textrm{d}x}\right|}{\sqrt{1+\frac{\textrm{d}h}{\textrm{d}x} ^2}}$ $

Per concludere e riassumendo:
$ $\frac{\left[V_0^2+2gh_0(1-\frac{h}{h_0})\right]|h''|} {\left(1+h' ^2\right)^{\frac{3}{2}}}>g\frac{|h'|}{\sqrt{1+h'^2}}\quad\Rightarrow$ $ $ $\quad\left[\frac{V_0^2}{g}+2h_0(1-\frac{h}{h_0})\right]|h''|> |h'|\left(1+h' ^2\right)$ $

Poniamo (spig/wlog) $ ~h(x)\equiv h_0\xi(kx) $ con $ ~\xi\leq 1 $
$ $\left[\frac{V_0^2}{gh_0}+2\left(1-\xi(kx)\right)\right]|h_0^2k^2\xi''(kx)|> |h_0k\xi'(kx)|\left(1+h_0^2k^2\xi'^2(kx)\right)$ $

posto $ ~\lambda=h_0k>0 $ (altrimenti avrei un piano) e $ ~\nu=\frac{V_0^2}{2gh_0}>0 $


$ $2\lambda|\xi''(kx)|\left[\nu+1-\xi(kx)\right]> |\xi'(kx)|\left(1+\lambda^2\xi'^2(kx)\right)$ $

[tuvok]

Mi sa che c'è un modo anche senza raggio di curvatura. Al distacco deve essere $ \frac{d^2x}{dt^2}=0 $ e $ \frac{d^2h}{dt^2}=-g $. Svolgendo i conti a me viene tipo che può staccarsi solo nel punto di partenza e solo se $ v_0^2 \geq \frac{g}{k^2h_0} $

[SkZ]

Mi sa che c'è un modo anche senza raggio di curvatura.

puo' essere, ma e' tanto piu' figo!
e poi l'ho sempre detto che a me piace incasinarmi la vita

forse puo' aiutare che $ ~\cos{x}\ge \sqrt{1-x^2} $, ma non ho controllato dove porta

[BMcKmas]

Mi sa che c'è un modo anche senza raggio di curvatura. Al distacco deve essere $ \frac{d^2x}{dt^2}=0 $ e $ \frac{d^2h}{dt^2}=-g $. Svolgendo i conti a me viene tipo che può staccarsi solo nel punto di partenza e solo se $ v_0^2 \geq \frac{g}{k^2h_0} $

Mi sembra che tuvok abbia ragione, scusate avevo scritto male il mio intervento che ho corretto. In effetti, anche a me sembra che o si stacca subito o non si stacca più.

@SkZ

nel tuo modo ameno di complicarti la vita credo tu abbia scambiato un seno con un coseno e questo rende la soluzione così complicata.

ciao

[SkZ]

credo tu abbia scambiato un seno con un coseno

dove?