Potenziale campo conservativo

[Sosuke]

Ho questo esercizio di istituzioni di matematiche 2... ma sembra piuttosto un esercizio di fisica.. mi richiede di calcolare il ponziale del seguente campo conservativo..

$ \displaystyle\vec{F} = xy^2ze^{\frac{x^2-1}{2}+y}ln(z)\vec{i}+ zy(2+y)e^{\frac{x^2-1}{2}+y}ln(z)\vec{j} +y^2(ln z+1) $$ \displaystyle e^{\frac{x^2-1}{2}+y}\vec{k} $

non vi chiedo di risolvermi l'esercizio ma di darmi una formula generale con cui possa risolverlo... almeno il nome di una formula.. al massimo cerco in rete...

[SkZ]

Un campo è conservativo se il suo integrale lungo un cammino chiuso è pari a zero.
Dato che un campo n-dimensionale in matematica è paragonabile ad una n-forma, diamo un'occhiata ai teoremi relativi.
L'integrale lungo un cammino chiuso di una n-forma è pari a zero se e solo se la forma è esatta.
Una n-forma dicesi esatta se è esprimibile come il differenziale esatto (ma tu guarda ) di una funzione a n variabili.

quindi
$ ~ F_i=\frac{\partial \phi}{\partial x_i} $ con $ ~ \phi $ potenziale del campo

[Sosuke]

Ma quindi in teoria si potrebbe facilmente risolvere tramite un integrale di linea calcolato lungo una linea di estremi A e B

[SkZ]

mi ero dimenticato una precisazione prima e ho corretto.
Dipende da te: se riesci a capire a occhio che funzione ha generato quel campo un paio di tentativi ed è finita.
Oppure calcoli tre integrali indefiniti e li "raccordi tra loro".
Ricorda che $ ~ \int f_x(x,y,z)\textrm{d}x=F_x(x,y,z)+\alpha(y,z) $ con $ ~ f_x(x,y,z) $ componente lungo x del campo, $ ~ F_x(x,y,z) $ una sua primitiva rispetto alla x e $ ~ \alpha(y,z) $ una funzione dipendente solo dalle altre due coordinate (y e z in questo caso).

[SkZ]

in caso per controllare

exp[(x^2-1)/2] exp(y) y^2 z ln(z)

ricordarsi: i potenziali sono sempre definiti a meno di una costante o ad una funzione non dipendende dalle variabili considerate.

[Sosuke]

cioè quello sarebbe il potenziale del campo??? già l'hai calcolato???


Allora vado per ordine che se no mi blocco più di quanto sono bloccato adesso...

Mi sembra di capire che la mia funzione è del tipo

$ F(x,y,z)=F_i(x_i,y_i,z_i) + F_j(x_j,y_j,z_j) + F_k(x_k,y_k,z_k) $

o sono tutte così?

Di sicuro non riesco a capire a occhio che funzione ha generato quel campo... anche perchè non capisco neanche il campo....
Allora in pratica $ F_i, F_j, F_k $ rappresentano le forze del campo conservativo che sono in te diverse direzioni (i,j,k)
quindi per trovare il suo potenziale basta prendere dei fattori comuni alle tre funzioni... esatto? (Sarebeb questo il metodo ad occhio?)

Altrimenti.. dovrei fare tre integrali indefiniti che dovrebbero essere quelli delle 3 funzioni del membro di destra... esatto?

[Cmax]

In questi esercizi esiste spesso una "chiave di ingresso". Nelle componenti $ f_x, f_y $ la dipendenza in z è data da $ zlnz $, mentre in $ f_z $ è $ lnz+1=(zlnz)' $. Un eventuale potenziale sarà quindi della forma $ g(x,y)zlnz $. Per determinare la $ g(x,y) $ guardiamo la componente z del campo (in cui compare senza derivazioni), e ricaviamo $ g(x,y)=y^2e^{\frac{x^2-1}{2}+y} $. Si verifica subito che il gradiente di questo potenziale fornisce proprio il campo dato.

[Sosuke]

Sei stato chiarissimo... grazie

$ \displaystyle\vec{F}=yzx^2\vec{i}+(\frac{zx^3}{3}+e^{yz})\vec{j}+(\frac{y}{z}e^{zy}+ln z+\frac{yx^3}{3}-\frac{e^{yz}}{z^2})\vec{k} $


Allora allora... qui invece... la dipendenza è nelle componenti $ f_y $ e $ f_z $ ed è data da $ e^{yz} $... la componente in cui non compaiono derivazione è x.. da qui ricavo che il potenziale del campo conservativo è $ \displaystyle x^2yze^{yz} $

Corretto?

[SkZ]

no
l'integrale di $ ~ F_x $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3}+\alpha(y,z) $
l'integrale di $ ~ F_y $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3} + \frac{e^{yz}}{z} + \beta(x,z) $
l'integrale di $ ~ F_y $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3} + \frac{e^{yz}}{z} +z\ln{z}-z + \gamma(x,y) $
metti insieme e ottieni il tuo potenziale
Con un po' di esperienza riesci a fare tutto a mente

[Sosuke]

no
l'integrale di $ ~ F_x $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3}+\alpha(y,z) $
l'integrale di $ ~ F_y $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3} + \frac{e^{yz}}{z} + \beta(x,z) $
l'integrale di $ ~ F_y $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3} + \frac{e^{yz}}{z} +z\ln{z}-z + \gamma(x,y) $
metti insieme e ottieni il tuo potenziale
Con un po' di esperienza riesci a fare tutto a mente

Quindi il potenziale finale è dato da:

[/tex] ti da $ ~ \phi = x^3yz + 2\frac{e^{yz}}{z} + \frac{e^{yz}}{z} +z\ln{z}-z $

????

[SkZ]

no

non devi sommare, devi mettere assieme!
tu hai che $ ~ F_x=\frac{\partial \phi}{\partial x} $ ma se $ ~ \phi=a(x,y,z)+b(y,z) $ allora avrai $ ~ F_x=\frac{\partial a(x,y,z)}{\partial x} $. Quindi integrando $ ~ F_x $ otterrai $ ~ \phi $ a meno di una funzione non dipendente da x (una costante e' una funzione non dipendente da alcuna variabile).
calcolati i tre integrali indefiniti devi metterli assieme affinche' il gradiente della funzione ottenuta sia il tuo campo

[Sosuke]

Allora vado per ordine che proprio sono gnucco.... integro $ F_x $, $ F_y $, $ F_z $

$ F_x= \displaystyle\frac{1}{3}yzx^3 $
$ F_y= \displaystyle\frac{e^{zy}}{zy} $
$ F_z= \displaystyle z \ln z $ + altri 2 valori che non sto qui a calcolare perchè ci metterei tantissimo tempo...

calcolati i tre integrali indfiniti... li devo mettere assieme... Questo punto non capisco... che vuol dire mettere assieme?? moltiplicarli tra di loro??

[SkZ]

no
l'integrale di $ ~ F_x $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3}+\alpha(y,z) $
l'integrale di $ ~ F_y $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3} + \frac{e^{yz}}{z} + \beta(x,z) $
l'integrale di $ ~ F_y $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3} + \frac{e^{yz}}{z} +z\ln{z}-z + \gamma(x,y) $
metti insieme e ottieni il tuo potenziale
Con un po' di esperienza riesci a fare tutto a mente

allora
$ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3}+\alpha(y,z)= \frac{x^3yz}{3} + \frac{e^{yz}}{z} + \beta(x,z)= $$ ~ \frac{x^3yz}{3} + \frac{e^{yz}}{z} +z\ln{z}-z + \gamma(x,y) $

[Sosuke]

ma $ ~ \gamma(x,y) $ non è uguale a $ \frac{x^3yz}{3} $ ???

[SkZ]

$ ~ \frac{\partial\gamma(x,y)}{\partial z}=0 \qquad \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{x^3yz}{3}\right)=\frac{x^3y}{3} $
, direi di no!