Potenziale campo conservativo

Meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, relatività, ...
Sosuke
Messaggi: 256
Iscritto il: 05 ago 2006, 20:10

Potenziale campo conservativo

Messaggio da Sosuke » 30 set 2006, 21:40

Ho questo esercizio di istituzioni di matematiche 2... ma sembra piuttosto un esercizio di fisica.. mi richiede di calcolare il ponziale del seguente campo conservativo..

$ \displaystyle\vec{F} = xy^2ze^{\frac{x^2-1}{2}+y}ln(z)\vec{i}+ zy(2+y)e^{\frac{x^2-1}{2}+y}ln(z)\vec{j} +y^2(ln z+1) $$ \displaystyle e^{\frac{x^2-1}{2}+y}\vec{k} $

non vi chiedo di risolvermi l'esercizio ma di darmi una formula generale con cui possa risolverlo... almeno il nome di una formula.. al massimo cerco in rete...

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 30 set 2006, 22:20

Un campo è conservativo se il suo integrale lungo un cammino chiuso è pari a zero.
Dato che un campo n-dimensionale in matematica è paragonabile ad una n-forma, diamo un'occhiata ai teoremi relativi.
L'integrale lungo un cammino chiuso di una n-forma è pari a zero se e solo se la forma è esatta.
Una n-forma dicesi esatta se è esprimibile come il differenziale esatto (ma tu guarda :wink: ) di una funzione a n variabili.

quindi
$ ~ F_i=\frac{\partial \phi}{\partial x_i} $ con $ ~ \phi $ potenziale del campo
Ultima modifica di SkZ il 30 set 2006, 23:04, modificato 1 volta in totale.
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

Sosuke
Messaggi: 256
Iscritto il: 05 ago 2006, 20:10

Messaggio da Sosuke » 30 set 2006, 23:01

Ma quindi in teoria si potrebbe facilmente risolvere tramite un integrale di linea calcolato lungo una linea di estremi A e B

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 30 set 2006, 23:13

mi ero dimenticato una precisazione prima e ho corretto.
Dipende da te: se riesci a capire a occhio che funzione ha generato quel campo un paio di tentativi ed è finita.
Oppure calcoli tre integrali indefiniti e li "raccordi tra loro".
Ricorda che $ ~ \int f_x(x,y,z)\textrm{d}x=F_x(x,y,z)+\alpha(y,z) $ con $ ~ f_x(x,y,z) $ componente lungo x del campo, $ ~ F_x(x,y,z) $ una sua primitiva rispetto alla x e $ ~ \alpha(y,z) $ una funzione dipendente solo dalle altre due coordinate (y e z in questo caso).
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 30 set 2006, 23:24

in caso per controllare
exp[(x^2-1)/2] exp(y) y^2 z ln(z)
ricordarsi: i potenziali sono sempre definiti a meno di una costante o ad una funzione non dipendende dalle variabili considerate.
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

Sosuke
Messaggi: 256
Iscritto il: 05 ago 2006, 20:10

Messaggio da Sosuke » 01 ott 2006, 00:03

cioè quello sarebbe il potenziale del campo??? già l'hai calcolato??? :shock:


Allora vado per ordine che se no mi blocco più di quanto sono bloccato adesso...

Mi sembra di capire che la mia funzione è del tipo

$ F(x,y,z)=F_i(x_i,y_i,z_i) + F_j(x_j,y_j,z_j) + F_k(x_k,y_k,z_k) $

:oops: o sono tutte così? :oops:

Di sicuro non riesco a capire a occhio che funzione ha generato quel campo... anche perchè non capisco neanche il campo....
Allora in pratica $ F_i, F_j, F_k $ rappresentano le forze del campo conservativo che sono in te diverse direzioni (i,j,k)
quindi per trovare il suo potenziale basta prendere dei fattori comuni alle tre funzioni... esatto? (Sarebeb questo il metodo ad occhio?)

Altrimenti.. dovrei fare tre integrali indefiniti che dovrebbero essere quelli delle 3 funzioni del membro di destra... esatto?

Cmax
Messaggi: 16
Iscritto il: 22 ago 2006, 14:18

Messaggio da Cmax » 02 ott 2006, 10:12

In questi esercizi esiste spesso una "chiave di ingresso". Nelle componenti $ f_x, f_y $ la dipendenza in z è data da $ zlnz $, mentre in $ f_z $ è $ lnz+1=(zlnz)' $. Un eventuale potenziale sarà quindi della forma $ g(x,y)zlnz $. Per determinare la $ g(x,y) $ guardiamo la componente z del campo (in cui compare senza derivazioni), e ricaviamo $ g(x,y)=y^2e^{\frac{x^2-1}{2}+y} $. Si verifica subito che il gradiente di questo potenziale fornisce proprio il campo dato.

Sosuke
Messaggi: 256
Iscritto il: 05 ago 2006, 20:10

Messaggio da Sosuke » 02 ott 2006, 10:58

Sei stato chiarissimo... grazie

$ \displaystyle\vec{F}=yzx^2\vec{i}+(\frac{zx^3}{3}+e^{yz})\vec{j}+(\frac{y}{z}e^{zy}+ln z+\frac{yx^3}{3}-\frac{e^{yz}}{z^2})\vec{k} $


Allora allora... qui invece... la dipendenza è nelle componenti $ f_y $ e $ f_z $ ed è data da $ e^{yz} $... la componente in cui non compaiono derivazione è x.. da qui ricavo che il potenziale del campo conservativo è $ \displaystyle x^2yze^{yz} $

Corretto?

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 02 ott 2006, 11:38

no
l'integrale di $ ~ F_x $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3}+\alpha(y,z) $
l'integrale di $ ~ F_y $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3} + \frac{e^{yz}}{z} + \beta(x,z) $
l'integrale di $ ~ F_y $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3} + \frac{e^{yz}}{z} +z\ln{z}-z + \gamma(x,y) $
metti insieme e ottieni il tuo potenziale
Con un po' di esperienza riesci a fare tutto a mente
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

Sosuke
Messaggi: 256
Iscritto il: 05 ago 2006, 20:10

Messaggio da Sosuke » 02 ott 2006, 12:03

SkZ ha scritto:no
l'integrale di $ ~ F_x $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3}+\alpha(y,z) $
l'integrale di $ ~ F_y $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3} + \frac{e^{yz}}{z} + \beta(x,z) $
l'integrale di $ ~ F_y $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3} + \frac{e^{yz}}{z} +z\ln{z}-z + \gamma(x,y) $
metti insieme e ottieni il tuo potenziale
Con un po' di esperienza riesci a fare tutto a mente
Quindi il potenziale finale è dato da:

[/tex] ti da $ ~ \phi = x^3yz + 2\frac{e^{yz}}{z} + \frac{e^{yz}}{z} +z\ln{z}-z $

???? :roll:

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 02 ott 2006, 12:30

:shock: no

non devi sommare, devi mettere assieme!
tu hai che $ ~ F_x=\frac{\partial \phi}{\partial x} $ ma se $ ~ \phi=a(x,y,z)+b(y,z) $ allora avrai $ ~ F_x=\frac{\partial a(x,y,z)}{\partial x} $. Quindi integrando $ ~ F_x $ otterrai $ ~ \phi $ a meno di una funzione non dipendente da x (una costante e' una funzione non dipendente da alcuna variabile).
calcolati i tre integrali indefiniti devi metterli assieme affinche' il gradiente della funzione ottenuta sia il tuo campo
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

Sosuke
Messaggi: 256
Iscritto il: 05 ago 2006, 20:10

Messaggio da Sosuke » 02 ott 2006, 13:38

Allora vado per ordine che proprio sono gnucco.... integro $ F_x $, $ F_y $, $ F_z $

$ F_x= \displaystyle\frac{1}{3}yzx^3 $
$ F_y= \displaystyle\frac{e^{zy}}{zy} $
$ F_z= \displaystyle z \ln z $ + altri 2 valori che non sto qui a calcolare perchè ci metterei tantissimo tempo...

calcolati i tre integrali indfiniti... li devo mettere assieme... Questo punto non capisco... che vuol dire mettere assieme?? moltiplicarli tra di loro??

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 02 ott 2006, 14:08

SkZ ha scritto:no
l'integrale di $ ~ F_x $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3}+\alpha(y,z) $
l'integrale di $ ~ F_y $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3} + \frac{e^{yz}}{z} + \beta(x,z) $
l'integrale di $ ~ F_y $ ti da $ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3} + \frac{e^{yz}}{z} +z\ln{z}-z + \gamma(x,y) $
metti insieme e ottieni il tuo potenziale
Con un po' di esperienza riesci a fare tutto a mente
allora
$ ~ \phi = \frac{x^3yz}{3}+\alpha(y,z)= \frac{x^3yz}{3} + \frac{e^{yz}}{z} + \beta(x,z)= $$ ~ \frac{x^3yz}{3} + \frac{e^{yz}}{z} +z\ln{z}-z + \gamma(x,y) $
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

Sosuke
Messaggi: 256
Iscritto il: 05 ago 2006, 20:10

Messaggio da Sosuke » 02 ott 2006, 14:13

ma $ ~ \gamma(x,y) $ non è uguale a $ \frac{x^3yz}{3} $ ???

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 02 ott 2006, 15:02

$ ~ \frac{\partial\gamma(x,y)}{\partial z}=0 \qquad \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{x^3yz}{3}\right)=\frac{x^3y}{3} $
:? , direi di no!
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

Rispondi