Esame di Fisica I (Funi, molle, forze e campi elettrici)

[Sosuke]

Scusate il titolo un pò generico, ma non sapevo cos altro mettere perevitare di riempire poi la sezione di miei topic... Se possibile vorrei postare alcuni esercizi che mi sono stati chiesti all'esame (in cui mi sono ritirato) e le MIE soluzioni.. così potete chiarirmi le idee... naturalmente ringrazio in anticipo a tutti.... magari posto un esercizio per volta così da evitare confusione in futuro...

Il primo esercizo chiedeva:
Dal poggiolo del terzo piano di una casa si deve calare una massa di $ 150kg $ con una fune inestensibile e peso trascurabile il cui carico di rottura è $ F = 1245N $.
a) Si può calare a velocità costante tale massa senza che si spezzi la fune?
b)In caso contrario, con quale accelerazione minima il carico dovrebbe essere calato?

Ecco come ho svolto:
Calcolo la tensione della fune... cioè $ T=mg=150*9,81=1471,5N $
La tensione dovrebbe superare il carico di rottura, il che vorrebbe dire che la massa non può stare neanche ferma attaccata alla fune. Quindi la risposta alla domanda

a) Si può calare a velocità costante tale massa senza che si spezzi la fune?

dovrebbe essere no...
E' esatto o sono completamente fuori strada?

Grazie ancora...[/tex]

[BMcKmas]

Si tratta di un esecizio un po' cervellotico tipico degli esami. Per la prima parte è OK: se il corpo si muove a velocità costante oppure sta fermo il tiro del filo è il medesimo (ed è pari al peso).
Invece, la risposta che il prof. voleva per la seconda domanda è SI. Se tu lo cali con una accelerazione opportuna il tiro del filo può essere ridotto quanto vuoi (anche a zero, se il corpo cade con l'acc. di gravità).

In pratica la cosa è un po' più complicata perché è molto difficile effettuare tale operazione senza che ci siano transitori iniziali o finali che possono sovrasollecitare il filo .... ma questi sono problemi per ingegneri!

ciao

[Sosuke]

Per la prima parte è OK: se il corpo si muove a velocità costante oppure sta fermo il tiro del filo è il medesimo (ed è pari al peso).
ciao

Per tiro del filo intendi la tensione? Se intendi la tensione non dovrei calcolarla come ho fatto?

Se tu lo cali con una accelerazione opportuna il tiro del filo può essere ridotto quanto vuoi (anche a zero, se il corpo cade con l'acc. di gravità).

Ah e quindi se faccio scendere la massa, la tensione diminuisce.... io stupidamente avevo pensato che la tensione aumentava.. quindi l'accelerazione la calcolo... $ a=\dsiplaystyle\frac{F}{m}=\frac{1245}{150}=8,3m/s^2 $

Quindi alla domanda

b)In caso contrario, con quale accelerazione minima il carico dovrebbe essere calato?

la risposta è $ 8,3 m/s^2 $

Esatto?

[BMcKmas]

Per tiro del filo intendi la tensione? Se intendi la tensione non dovrei calcolarla come ho fatto?

Per tiro intendo la forza totale che il filo esercita (o che è applicata al filo) e si misura in $ [N] $ . In effetti per la precisione in meccanica, la tensione sarebbe la forza diviso l'area $ [Nm^{-2}] $, anche se impropriamente spesso il termine si usa per indicare il tiro.
Nel caso di velocità costante (e quindi anche di corpo fermo) il tiro del filo è uguale al peso (come hai calcolato) e quindi la sua resistenza non è sufficiente.

Ah e quindi se faccio scendere la massa, la tensione diminuisce.... io stupidamente avevo pensato che la tensione aumentava.. quindi l'accelerazione la calcolo... $ a=\dsiplaystyle\frac{F}{m}=\frac{1245}{150}=8,3m/s^2 $

Quindi alla domanda

b)In caso contrario, con quale accelerazione minima il carico dovrebbe essere calato?

la risposta è $ 8,3 m/s^2 $

Esatto?

Non sei fai scendere la massa, ma se la fai scendere con una accelerazione non nulla.
Chiamo $ a $ l'acc. con cui scende la massa (positiva se verso il basso) e $ T $ il corrispondente tiro del filo: la seconda equazione della dinamica implica:
$ ma=mg-T $
da cui se hai $ a $ ricavi $ T $ e se hai il tiro ammissibile del cavo$ T_{max} $ ricavi il valore minimo della $ a $ .

Ti lascio i conti.

ciao

[Sosuke]

Chiamo $ a $ l'acc. con cui scende la massa (positiva se verso il basso) e $ T $ il corrispondente tiro del filo: la seconda equazione della dinamica implica:
$ ma=mg-T $
da cui se hai $ a $ ricavi $ T $ e se hai il tiro ammissibile del cavo$ T_{max} $ ricavi il valore minimo della $ a $ .

Ti lascio i conti.

ciao

Ehm.. credo che non il tiro ammissibile del cavo... e poi.. visto che m= 150kg, allora T= 150 N... esatto?

[Fabrizio]

Il corpo è soggetto alla forza di gravità e ad una forza apparente di reazione dovuta alla caduta accelerata. Queste, sommate, devono essere minori o uguali in modulo alla tensione massima perché il filo non si spezzi. in formule:
$ m(g-a)\underline{<} T $
Da cui il corpo deve cadere con un'accelerazione
$ a\underline{>}g-\frac{T}{m}=9,8-8,3 $
$ a\underline{>}1,6 m/s^2 $

[Sosuke]

Ah vi ringrazio questo l'ho capito... L'altro esercizio (sulle molle):

Una particella di massa m si trova su un piano orizzontale scabro ($ micron d, micron s $) ed è vincolata all'estremità di una molla ideale di costante elastica $ k $ e lunghezza a riposo $ Lo $. Una seconda particella di massa $ M $ si muove sullo stesso piano come mostrato nella figura (che se volete in qualche modo vi posto) e va ad urtarla con velocità di modulo $ V_M (0^-) $ (modulo della velocità di M un istante prima dell'urto che avviene a $ t=0 $). L'urto è perfettamente elastico. Trovare la massima compressione subita dalla molla e quanto spazio dovrà percorrere la massa $ M $ prima di fermarsi.


Così è come ho svolto l'esercizio... forse c'è da mettersi le mani ai capelli...

$ x= F/k $ dove con x indico l'elongazione

tenendo conto che $ F=M *V_M $ trovo che la massima compressione della molla sia $ x=\frac{M*V_M}{k} $.

Mi ricavo $ V_M $dopo l'urto che è $ = \frac{(M-m)*V_M iniziale}{M+m} $

e da qui lo spazio che percorre la pallina $ M $ prima di fermarsi che è
$ s=V_M*t + \frac{1}{2} *\frac{F}{M}*t^2 $

Questo è quello che ho inventato....

[SkZ]

dato che si ha forze conservative (se ho ben capito non c'e' attrito) e la massa collegata alla molla e' ferma allora
$ \displaystyle \frac{1}{2}kx^2 =\frac{1}{2}mv^2 $
quindi
$ \displaystyle x=\sqrt{\frac{m}{k}}v $

[Sosuke]

$ \displaystyle \frac{1}{2}kx^2 =\frac{1}{2}mv^2 $

Allora non mi è tanto chiara l'equazione... matematicamente penso di averla capita... fisicamente l'equazione vuol dire che la pallina in movimento trasmette la sua energia alla pallina attaccata alla molla?
Con x intendi la massima compressione della molla giusto?

Quindi mi manca da trovare lo spazio che dovrà percorrere la pallina M prima che si fermi... quindi devo tener conto dell'attrito.. quindi penso che la formula sia la seguente:

$ F-\micron_d*N-M*a=0 $
dove con F intendo la forza che fa muovere la pallina dopo l'urto, con $ \micron_d $ la costante di attrito dinamico, con N la forza normale(quella rivolta verso l'alto), con M la massa della pallina.

Se fino a qui è esatto, l'unica cosa che dovrei scoprire è F.. che però mi dispiace ma non saprei da dove cominciare per trovarla....

forse sono completamente fuori strada?

[SkZ]

scritto meglio $ \Delta E = L_F $ ovvero la variazione di energia di un sistema e' pari al lavoro delle forze esterne.
dato che a quanto pare c'e' l'attrito e posto v la velocita' della massa m attaccata alla molla, x la sua coordinata (presa positiva verso la molla, per semplicita') e presi i due istanti urto e massima-compressione ho
$ \displaystyle \frac{1}{2}k x^2 - \frac{1}{2}mv^2= -(\mu_d)mgx $, quindi
$ \displaystyle x=-\frac{\mu_d mg}{k} + \sqrt{\frac{m}{k}v^2+\left(\frac{\mu_d mg}{k}\right)^2} $

Consiglio vivamente di ricordarsi sempre che $ L_A = \Delta E $, ovvero che il lavoro delle forze di attrito su un sistema e' pari alla variazione dell'energia totale del sistema. Riesce a tornare molto utile

ps: mu, non micron per avere $ ~ \mu ~ $

[Sosuke]

scritto meglio $ \Delta E = L_F $ ovvero la variazione di energia di un sistema e' pari al lavoro delle forze esterne.
dato che a quanto pare c'e' l'attrito e posto v la velocita' della massa m attaccata alla molla, x la sua coordinata (presa positiva verso la molla, per semplicita') e presi i due istanti urto e massima-compressione ho
$ \displaystyle \frac{1}{2}k x^2 - \frac{1}{2}mv^2= -(\mu_d)mgx $, quindi
$ \displaystyle x=-\frac{\mu_d mg}{k} + \sqrt{\frac{m}{k}v^2+\left(\frac{\mu_d mg}{k}\right)^2} $

Consiglio vivamente di ricordarsi sempre che $ L_A = \Delta E $, ovvero che il lavoro delle forze di attrito su un sistema e' pari alla variazione dell'energia totale del sistema. Riesce a tornare molto utile

ps: mu, non micron per avere $ ~ \mu ~ $

Ah.. ti ringrazio per il \mu.. per quanto riguarda l'esercizio questo che hai scirtto ora mi sembra di aver capito è la compressione della molla... esatto?

Ehm.. poi la pallina che è attaccata alla molla è ferma....
e per quanto riguarda l'altra pallina quella che colpisce la pallina ferma attaccata alla molla quanto spazio percorre prima di fermarsi?

Posto l'immagine nel qual caso non mi sia spiegato bene in qualche punto...


Immagine

[SkZ]

prima avevo postato per un attimo una brutta distrazione (x=f(x))
per chi ama come me le approssimazioni, posto $ \displaystyle x_0=\sqrt{\frac{m}{k}}v \qquad \chi = \frac{\mu_dmg}{k} $
se $ \chi \gg x_0 $ (ovvero se l'attrito e' forte) $ \displaystyle x=\frac{x_0^2}{2\chi} $
se $ \chi \ll x_0 $ (ovvero se l'attrito e' debole) $ \displaystyle x=x_0 \left( 1- \frac{\chi}{x_0} + \frac{\chi^2}{2x_0^2} \right) $

[SkZ]

anche per la massa M colpente vale lo stesso
se chiamo V la sua velocita' dopo l'urto si ha
$ \displaystyle s\mu_d Mg=\frac{1}{2}MV^2 $
quindi $ \displaystyle s=\frac{V^2}{2\mu_d g} $

non mi viene in mente come stabilire se la particella legata alla molla si muova o no (se l'attrito statico e' abbastanza forte, tipo bostik , non si muovera')

[Sosuke]

Questa è la compressione della molla:

se $ \chi \gg x_0 $ (ovvero se l'attrito e' forte) $ \displaystyle x=\frac{x_0^2}{2\chi} $
se $ \chi \ll x_0 $ (ovvero se l'attrito e' debole) $ \displaystyle x=x_0 \left( 1- \frac{\chi}{x_0} + \frac{\chi^2}{2x_0^2} \right) $

Questo è lo spazio di cui ha bisogno la pallina M per fermarsi:

quindi $ \displaystyle s=\frac{V^2}{2\mu_d g} $

Esatto?

[SkZ]

meglio se per la compressione della molla usi $ \displaystyle x=-\frac{\mu_d mg}{k} + \sqrt{\frac{m}{k}v^2+\left(\frac{\mu_d mg}{k}\right)^2} $

i prof non apprezzano molto le approssimazioni, perdi piu' se sono del liceo