Satellite con filo [Sant'Anna]
Satellite con filo [Sant'Anna]
In un recente esperimento spaziale era previsto che un satellite venisse lanciato da una navetta spaziale restando collegato ad essa attraverso un filo flessibile ed inestendibile della lunghezza di $ 20 km $in modo da orbitare esternamente. si assuma che la navetta spaziale orbiti ad una quota$ d $ che la massa del satellite$ (500kg) $ sia molto più piccola di quella della navetta. Si determini:
(a) il periodo di rotazione del sistema navetta-satellite intorno alla terra.
(b) la tensione a cui è sottoposto il filo di collegamento.
Dati:
- costante di gravitazione universale $ G_n = 6,7 \cdot 10^{-11} m^3/kg s^2 $
- raggio terrestre $ R_T =6400 km $
- massa della terra $ M_T=6 \cdot 10^{24} kg $
(a) il periodo di rotazione del sistema navetta-satellite intorno alla terra.
(b) la tensione a cui è sottoposto il filo di collegamento.
Dati:
- costante di gravitazione universale $ G_n = 6,7 \cdot 10^{-11} m^3/kg s^2 $
- raggio terrestre $ R_T =6400 km $
- massa della terra $ M_T=6 \cdot 10^{24} kg $
Se non ho capito male il satellite orbita intorno alla terra ad una quota (d + 20km) e quindi il filo è la prosecuzione della congiungente terra-navicella, o sbaglio?
Per quota si intende la distanza dalla superficie terrestre, vero?
Per quota si intende la distanza dalla superficie terrestre, vero?
Parlare oscuramente lo sa fare ognuno, ma chiaro pochissimi. (G. Galilei)
Partendo da queste ipotesi provo a dare una soluzione...
(1) Affinchè la navetta resti in orbita, la forza centrifuga deve essere uguale alla forza gravitazionale. Detta M>>m la massa della navetta
$ M \frac{V_{nav}^2 } r = G \frac{M_T M }{r^2} $
da cui si ricava che
$ V_{nav} = \sqrt{\frac{G M_T} r} $
dove r è la distanza tra il centro della terra e la navetta e vale quindi (d + 6400km).
Dunque, siccome M>>m il centro di massa del sistema navetta-satellite corrisponde con la navetta
essendo
$ T = \frac{V} {2\pi r} $
$ T = \frac{\sqrt{\frac{G M_T} r}}{2 \pi r} $
che non è numericamente determinabile se non in funzione di d.
(2) Se il satellite ha una velocità
$ V_{sat} = \sqrt{\frac{G M_T}{r'}} $
dove r' = r + 20km = d + 6420km
la tensione del filo è nulla in quanto il satellite è in equilibrio siccome sono uguali le forze centrifuga e gravitazionale.
Direi quindi che il filo debba avere un'orientazione differente da quella che avevo ipotizzato...
(1) Affinchè la navetta resti in orbita, la forza centrifuga deve essere uguale alla forza gravitazionale. Detta M>>m la massa della navetta
$ M \frac{V_{nav}^2 } r = G \frac{M_T M }{r^2} $
da cui si ricava che
$ V_{nav} = \sqrt{\frac{G M_T} r} $
dove r è la distanza tra il centro della terra e la navetta e vale quindi (d + 6400km).
Dunque, siccome M>>m il centro di massa del sistema navetta-satellite corrisponde con la navetta
essendo
$ T = \frac{V} {2\pi r} $
$ T = \frac{\sqrt{\frac{G M_T} r}}{2 \pi r} $
che non è numericamente determinabile se non in funzione di d.
(2) Se il satellite ha una velocità
$ V_{sat} = \sqrt{\frac{G M_T}{r'}} $
dove r' = r + 20km = d + 6420km
la tensione del filo è nulla in quanto il satellite è in equilibrio siccome sono uguali le forze centrifuga e gravitazionale.
Direi quindi che il filo debba avere un'orientazione differente da quella che avevo ipotizzato...
Parlare oscuramente lo sa fare ognuno, ma chiaro pochissimi. (G. Galilei)
Non credo si debba interpretare così.
Il testo dice che la navetta orbita a una quota pari a $ d $ e 20 km è la lunghezza del cavo.
Tuttavia non mi è chiaro come si possa ottenere un risultato numerico completo non specificando $ d $ .
@ drago88
sei sicuro che non sia dato il valore, magari indirettamente dicendo che il satellite è in orbita geostazionaria?
ciao
Il testo dice che la navetta orbita a una quota pari a $ d $ e 20 km è la lunghezza del cavo.
Tuttavia non mi è chiaro come si possa ottenere un risultato numerico completo non specificando $ d $ .
@ drago88
sei sicuro che non sia dato il valore, magari indirettamente dicendo che il satellite è in orbita geostazionaria?
ciao
BMcKMas
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
Allora ci provo.
Soluzione tutta letterale visto che $ d $ è parametro.
Pongo: $ m $ massa del satellite, $ M $ massa della navicella (serve solo per la relazione $ m<<M $), $ l $ lunghezza del cavo ($ l=20000 m $), $ R=R_T+d $ distanza della navicella dal centro della Terra e, infine, il parametro adimensionale $ \lambda=l/R<<1 $.
Suppongo che un opportuno sistema porti il satellite a orbitare esternamente alla navicella in modo che satellite-navicella-centro della terra siano sempre allineati (una volta messo in tale posizione con la giusta velocità il satellite vi resterà naturalmente).
Se la massa del satellite è trascurabile (come dice il testo), l'operazione di trasferimento del satellite non comporta modifiche di orbita della navicella (SOPRATTUTTO SE IL CAVO POI SI SPEZZA ).
Pertanto:
1) periodo di rotazione: $ T= 2 \pi \sqrt{R^3/G_nM_T} $
2) Tiro del cavo: $ G_n m M_T [(1+\lambda)-1/(1-\lambda)^2]/R^2 $
essendo $ l/R<<1 $ tale valore si può approssimare con: $ 3\lambda G_n M_Tm/R^2} $
ciao
Soluzione tutta letterale visto che $ d $ è parametro.
Pongo: $ m $ massa del satellite, $ M $ massa della navicella (serve solo per la relazione $ m<<M $), $ l $ lunghezza del cavo ($ l=20000 m $), $ R=R_T+d $ distanza della navicella dal centro della Terra e, infine, il parametro adimensionale $ \lambda=l/R<<1 $.
Suppongo che un opportuno sistema porti il satellite a orbitare esternamente alla navicella in modo che satellite-navicella-centro della terra siano sempre allineati (una volta messo in tale posizione con la giusta velocità il satellite vi resterà naturalmente).
Se la massa del satellite è trascurabile (come dice il testo), l'operazione di trasferimento del satellite non comporta modifiche di orbita della navicella (SOPRATTUTTO SE IL CAVO POI SI SPEZZA ).
Pertanto:
1) periodo di rotazione: $ T= 2 \pi \sqrt{R^3/G_nM_T} $
2) Tiro del cavo: $ G_n m M_T [(1+\lambda)-1/(1-\lambda)^2]/R^2 $
essendo $ l/R<<1 $ tale valore si può approssimare con: $ 3\lambda G_n M_Tm/R^2} $
ciao
Ultima modifica di BMcKmas il 07 set 2006, 14:32, modificato 1 volta in totale.
BMcKMas
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
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Scusate, anch'io avevo riportato la pulsazione invece che il periodo! Ho corretto.MateCa ha scritto:Ho fatto un errorino nel punto (1):
........
@BMcKmas
puoi spiegare come hai ottenuto l'equazione al punto (2)
Per il punto 2 ho considerato che il satellite descrive un'orbita circolare di raggio noto, con lo stesso periodo della navicella. La forza centripeta che produce il moto circolare uniforme del satellite è la forza di gravità della Terra più il tiro del filo, da cui il risultato.
ciao
BMcKMas
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