sns 2006-2007, es. 1

[hydro]

Una pulsar (stella collassata) ruota su sè stessa 10 volte al secondo. Calcola qual è la sua densità minima, supponendo sia sferica.

Se il sole collassasse in una pulsar della densità di $ 3 \cdot 10^{17} $ $ \frac{Kg}{m^3} $, quale sarebbe il suo periodo, sapendo che quello attuale è di 24 giorni? e quale sarebbe la sua densità minima con tale periodo?

[Simo_the_wolf]

Uhm mi pare che la densità finale del sole fosse $ 10^{17} Kg /m^3 $, senza il $ 3 $.

Comunque le cose date erano anche la massa del sole $ M_s $, il raggio attuale del sole $ R_s $ e la costante di gravitazione universale $ G $.

[__Cu_Jo__]

Questo esercizio è forse quello più semplice dei 6. Per il 2° punto basta applicare la conservazione del momento angolare:
$ \displaystyle \frac{2}{5}M_S R_S^2 \omega _i = \frac{2}{5}M_S R^2 \omega _f $[/tex]

[Phoenix87]

(1)
$ m\omega^2 g = m g(r) $
$ g(r) = G\frac{\rho V}{r^2} $
$ \ldots $
$ \rho = \frac{3\omega^2}{4 \pi G} $

(2)
$ I_0\omega_0 = I_1\omega_1 $ con $ \I_i = kR_i^2 $ e $ \omega_i = \frac{2\pi}{T_i} $
$ \frac{R_0^2}{T_0} = \frac{R_1^2}{T_1} $
$ \rho = \frac{M_S}{4/3\piR_1^3}\;\Rightarrow\;\R_1^3 = \frac{3M_S}{4\pi\rho} $

in definitiva $ T_1 = \left(\frac{\sqrt[3]{\frac{3M_S}{4\pi\rho}}}{R_S}\right)^2 T_0 $

(3)
$ \rho = \frac{3\pi}{G T_1^2} = \frac{3\pi}{G T_0^2}\left(\frac{R_S}{\sqrt[3]{\frac{3M_S}{4\pi\rho}}}\right)^4 $

[Gauss_87]

potrei sbagliarmi ma io ho pensato che non bastasse uguagliare le forze sul bordo al raggio massimo.

ho pensato che ciascuna calotta sferica si trovi ad una certa energia potenziale perchè ha una certa massa e si trova ad una certa distanza dal CM della massa interna, ho sommato (integrato) tutte queste energie potenziali infinitesime e alla fine ho uguagliato tale energia a quella rotazionale.

mi viene $ \rho = \frac{\pi}{G T^2} $

poi per il secondo punto ho applicato la conservazione del momento angolare.

[Phoenix87]

io nn ho pensato al bordo esterno, ma ad una particella m soggetta a forza centrifuga e forza gravitazionale. Affinché questa rimanga ferma, le due forze devono eguagliarsi in modulo.

[Gauss_87]

io nn ho pensato al bordo esterno, ma ad una particella m soggetta a forza centrifuga e forza gravitazionale. Affinché questa rimanga ferma, le due forze devono eguagliarsi in modulo.

si ma la forza gravitazionale dipende dalla massa interna per il th. di gauss, la quale vista la densità costante dipende dal cubo del raggio..

probabilmente si può considerare una particella m sul bordo perchè si parla di densità minima, e sul bordo la forza gravitazionale è minima mentre quella centripeta è massima.

[Bolzo88]

probabilmente si può considerare una particella m sul bordo perchè si parla di densità minima, e sul bordo la forza gravitazionale è minima mentre quella centripeta è massima.

No un attimo. A me risulta che sia la forza gravitazionale che quella centripeta sono massime sul bordo, ed entrambe direttamente proporzionali alla distanza dal centro (supponendo la densità costante). Quindi, data la proporzionalità diretta di entrambe rispetto al raggio, non dovrebbe cambiare il considerare la particella m sul bordo o all'interno della stella.

Provo a postare la mia soluzione per il calcolo della densità minima (così intanto faccio esercizio con il LaTeX).

Considero una particella m posta in qualsiasi punto della stella a distanza r dal centro. Chiamo $ \theta $ l'angolo formato da r con il piano equatoriale.
Per fare in modo che la stessa stia insieme devo porre la condizione che la componente parallela al piano equatoriale della forza di gravità sia maggiore o uguale in modulo alla forza centrifuga.

Esprimo la forza centrifuga (che chiamerò $ F_c $):
$ F_c=m \omega^2 r cos\theta=4\pi^2 m \nu^2 r cos\theta $
dove $ \nu $ è la frequenza di rotazione.

Per esprimere la forza di gravità so che mi servirà conoscere la massa interna al guscio sferico di raggio r (chiamerò questa massa M). Calcolo il valore di M:
$ M=\rho V=\rho\frac{4}{3}\pi r^3 $

Ora posso calcolare la forza di gravità che agisce su m:
$ F_g=\frac{G m}{r^2} M=\frac{G m}{r^2} \rho\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\rho\pi G m r $

Per trovare ora la componente della forza di gravità parallela al piano equatoriale (che chiamerò $ F_gpar $) mi basta moltiplicare il valore appena trovato per $ cos\theta $:
$ F_gpar=\frac{4}{3}\rho\pi G m r cos\theta $

Ora posso scrivere la mia condizione:
$ F_gpar\geq F_c $
$ \frac{4}{3}\rho\pi G m r cos\theta \geq 4\pi^2 m \nu^2 r cos\theta $
$ \frac{1}{3}\rho G \geq \pi \nu^2 $
$ \rho \geq \frac {3\pi \nu^2}{G} $
$ \rho_{min}=\frac {3\pi \nu^2}{G} $

Sostituendo i valori $ \nu=10s^{-1} $ e $ G=6,67 \cdot 10^{-11}m^3s^{-2}kg^{-1} $ viene:
$ \rho_{min}=1,41 \cdot 10^{13} kg m^{-3} $

EDIT: è vero, dimenticavo un $ \pi $...

[naja]

Esprimo la forza centrifuga (che chiamerò $ F_c $):
$ F_c=m \omega^2 r cos\theta=4\pi m \nu^2 r cos\theta $
dove $ \nu $ è la frequenza di rotazione.

Ti sei mangiato un $ \pi^2 $.. ecco perché non ti torna la formula per la densità minima:
$ \rho_{min}=\frac{3\pi}{GT^2} $

Inoltre tutte le considerazioni sul piano non equatoriale sono superflue.. è ovvio che per trovare il valore minimo della densità devi lavorare sul caso in cui le forze repulsive siano massime!

[Bolzo88]

potrei sbagliarmi ma io ho pensato che non bastasse uguagliare le forze sul bordo al raggio massimo.

ho pensato che ciascuna calotta sferica si trovi ad una certa energia potenziale perchè ha una certa massa e si trova ad una certa distanza dal CM della massa interna, ho sommato (integrato) tutte queste energie potenziali infinitesime e alla fine ho uguagliato tale energia a quella rotazionale.

mi viene $ \rho = \frac{\pi}{G T^2} $

poi per il secondo punto ho applicato la conservazione del momento angolare.

Hai eguagliato tutte queste energie potenziali all'energia cinetica rotazionale? Perchè se hai fatto così l'approccio mi sembra sbagliato. Così facendo non poni la condizione che una particella del guscio resti "attaccata" alla sfera, ma la condizione (meno restrittiva) che la particella si possa "staccare" dalla sfera compiendo però poi un tragitto chiuso (sarebbe aperto se l'energia potenziale fosse maggiore in modulo di quella cinetica). La condizione meno restrittiva spiegherebbe anche perchè il valore della densità minima ti viene minore rispetto a me, naja e Phoenix87.

Per naja: hai ragione, forse quelle considerazioni sul piano equatoriale erano un eccesso di pignoleria, ma ho preferito farle perchè a me a priori non era parso così ovvio.

[Phoenix87]

in effetti, anche considerando la II velocità cosmica, alla fine la stella rimarrebbe un unico corpo. Sinceramente nn ricordo se il testo esplicitava una certa rigidità delle particelle...

Con la II velocità cosmica verrebbe veramente una densità minima, oltre la quale le particelle si arresterebbero all'infinito, e la stella non esisterebbe più.

Cmq io ho risolto uguagliando le forze...

[Phoenix87]

$ \rho = \displaystyle\frac{6\pi}{5 G T^2} $