Gauss_87 ha scritto:probabilmente si può considerare una particella m sul bordo perchè si parla di densità minima, e sul bordo la forza gravitazionale è minima mentre quella centripeta è massima.
No un attimo. A me risulta che sia la forza gravitazionale che quella centripeta sono massime sul bordo, ed entrambe direttamente proporzionali alla distanza dal centro (supponendo la densità costante). Quindi, data la proporzionalità diretta di entrambe rispetto al raggio, non dovrebbe cambiare il considerare la particella m sul bordo o all'interno della stella.
Provo a postare la mia soluzione per il calcolo della densità minima (così intanto faccio esercizio con il LaTeX).
Considero una particella m posta in qualsiasi punto della stella a distanza r dal centro. Chiamo $ \theta $ l'angolo formato da r con il piano equatoriale.
Per fare in modo che la stessa stia insieme devo porre la condizione che la componente parallela al piano equatoriale della forza di gravità sia maggiore o uguale in modulo alla forza centrifuga.
Esprimo la forza centrifuga (che chiamerò $ F_c $):
$ F_c=m \omega^2 r cos\theta=4\pi^2 m \nu^2 r cos\theta $
dove $ \nu $ è la frequenza di rotazione.
Per esprimere la forza di gravità so che mi servirà conoscere la massa interna al guscio sferico di raggio r (chiamerò questa massa M). Calcolo il valore di M:
$ M=\rho V=\rho\frac{4}{3}\pi r^3 $
Ora posso calcolare la forza di gravità che agisce su m:
$ F_g=\frac{G m}{r^2} M=\frac{G m}{r^2} \rho\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\rho\pi G m r $
Per trovare ora la componente della forza di gravità parallela al piano equatoriale (che chiamerò $ F_gpar $) mi basta moltiplicare il valore appena trovato per $ cos\theta $:
$ F_gpar=\frac{4}{3}\rho\pi G m r cos\theta $
Ora posso scrivere la mia condizione:
$ F_gpar\geq F_c $
$ \frac{4}{3}\rho\pi G m r cos\theta \geq 4\pi^2 m \nu^2 r cos\theta $
$ \frac{1}{3}\rho G \geq \pi \nu^2 $
$ \rho \geq \frac {3\pi \nu^2}{G} $
$ \rho_{min}=\frac {3\pi \nu^2}{G} $
Sostituendo i valori $ \nu=10s^{-1} $ e $ G=6,67 \cdot 10^{-11}m^3s^{-2}kg^{-1} $ viene:
$ \rho_{min}=1,41 \cdot 10^{13} kg m^{-3} $
EDIT: è vero, dimenticavo un $ \pi $...