Due problemi sulle onde meccaniche dall'HRK

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HiTLeuLeR
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Due problemi sulle onde meccaniche dall'HRK

Messaggio da HiTLeuLeR » 31 ago 2006, 20:15

E' con estremo timore che entro in questa sezione del forum per proporre un paio di problemi che non capisco e di cui pertanto - così mi dico almeno! - non riesco a venire a capo... :? Confido ciecamente nella vostra conoscenza! Sono tratti entrambi dal I volume dell'Hallyday - Resnick - Krane, un libro che molti di voi (da quanto mi è dato capire) conoscono praticamente a memoria! :o Il capitolo è quello delle onde (il primo dei due dedicati all'argomento, in verità). Ed ecco i problemi (numerati come sull'edizione in mio possesso):

Cap. 17, pag. 360, n. 23P. Un'onda trasversale sinusoidale è generata a un capo di una lunga corda orizzontale da una barra che si muove su e giù lungo una distanza di 1 cm. Il moto è continuo e si ripete regolarmente 120 volte al secondo. La corda ha una massa lineica di 120 g/m ed è sottoposta a una tensione di 90 N. Trovare (a) il valore massimo della velocità trasversale u e (b) il valore massimo della componente trasversale della tensione. (c) Mostrare che i due valori massimi calcolati si verificano agli stessi valori di fase dell'onda. Qual è lo spostamento y della corda a queste fasi? (d) Qual è la potenza massima trasferita lungo la corda? (e) Qual è lo spostamento trasversale y quando si verifica il regime di potenza massima? (f) Qual è la potenza minima trasferita lungo la corda? (g) Qual è lo spostamento trasversale quando si verifica il regime di potenza minima?

L'ho dato per intero, anche se di questo, in pratica, non riesco a risolvere il solo punto (b). Ho provato ad applicare la II legge di Newton a un elemento $ \Delta \ell $ sulla corda, dopo aver stabilito la massima accelerazione a cui questo è sottoposto. Ciò nondimeno non mi riesce di concludere granché.

Cap. 17, pag. 361, n. 41P. Un cavo di alluminio, di lunghezza $ L_1 = 60 cm $, di sezione trasversale pari $ 10^{-2} $ cm e massa volumica uguale a 2,60 g/$ \mbox{cm}^3 $, è collegato a un cavo di acciaio di massa volumica 7,80 g/$ \mbox{cm}^3 $ e identica sezione trasversale. Il cavo composto, teso con un blocco di massa m = 10 kg , è disposto in modo tale che la distanza $ L_2 $ tra la giuntura e la carrucola di supporto sia di 86,6 cm. Nel cavo vengono generate delle onde trasversali mediante una sorgente esterna di frequenza variabile; in corrispondenza della puleggia si ha un nodo di onda stazionaria. (a) Trovare la frequenza di eccitazione più bassa per la quale le onde stazionarie siano tali che la giuntura nel cavo rappresenti un altro nodo. (b) Quanti nodi si osservano a questa frequenza?

Di questo è fornita la figura sulle pagine del libro, anche se la configurazione dovrebbe essere sufficientemente chiara. C'è un cavo orizzontale composto di due materiali differenti fissato per un estremo a una parete e attaccato per l'altro ad una massa appesa verticalmente facendo scorrere il cavo lungo una puleggia. Credo di aver risolto il punto (a), ma non sono del tutto sicuro di quel che ho fatto. In quanto alla richiesta (b), non ho nemmeno una vaga idea di come muovermi. :roll:

Chi se la sente di darmi una mano?

maxgr
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Messaggio da maxgr » 01 set 2006, 21:53

Provo il secondo problema... oltre alla risoluzione, anche il LaTeX farà un po' schifo, è la prima volta che lo uso nel forum... :D

Simboli: v_1,v_2 velocità di propagazione dell'onda nei due mezzi
T tensione del filo, f frequenza, $ \lambda_1, \lambda_2 $ lunghezze d'onda, $ \mu_1, \mu_2 $ densità lineari.
Considero la tensione della corda T=98N e mi dimentico della presenza della carrucola e del peso.
$ v_1=\sqrt{\frac{T}{\mu_1}}\\ f = \frac{v_2}{\lambda_2}= \frac{v_2}{\lambda_2}\\ \frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{v_2}{v_1}\\ \lambda_2=L_2*\frac{2}{N}\\ \lambda_1=L_1*\frac{2}{M}\\ $
con M, N interi
$ \frac{M}{N}=\frac{L_1}{L_2}*\frac{v_2}{v_1} \simeq 2/5 $ mettendo $ T=98N, \mu_1=2.6\cdot10^{-2}g/cm, \mu_2=7.8\cdot10^{-2}g/cm $
prendiamo M=2 e N=5 perchè cerchiamo la freq più piccola
Se non ho sbagliato conti e conversioni,
$ f=323.5 Hz $

a questa frequenza ci dovrebbero essere, oltre ai 3 nodi dati, un nodo in mezzo al tratto 1 (infatti lambda1=L1 quindi fa un'oscillazione completa) e altri 4 nodi in mezzo al tratto 2 (una semilunghezza è un quinto di L2).
Forse è un metodo un po' ingenuo, ma al momento non mi viene in mente nient'altro...

maxgr
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Messaggio da maxgr » 01 set 2006, 22:49

il secondo problema è risolto anche (sostanzialmente allo stesso modo, mi sembra) qui http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... highlight=

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 02 set 2006, 13:04

Ok, molte grazie davvero! :D Stupidamente, trascuravo di considerare che la frequenza dell'onda deve mantenersi constante lungo l'intera lunghezza della corda... :? E per quel che riguarda il primo problema?

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