Molla con massa [Sant'Anna]

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drago88
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Molla con massa [Sant'Anna]

Messaggio da drago88 » 29 ago 2006, 15:50

Un corpo puntiforme di massa $ m = 100g $ è saldato ad un estremo di una molla ideale, di costante elastica$ K $ e lunghezza a riposo trascurabile. l'altro estremo è fissato al punto$ O $.
Inizialmente il punto materiale, che è sottoposto alla forza peso e alla forza elastica, è in equilibrio nel piano verticale.
Si esercita sul punto materiale, in un tempo trascurabile, un impulso$ I $, diretto orizzontalmente di modulo $ I= 1 kg m /s $.


(a) Calcolare la massima distanza da O alla quale verrà a trovarsi il punto materiale, specificando la traiettoria descritta dal moto.

(b) Se l'impulso è esercitato a 30 gradi, rispetto alla direzione orizzontale, si calcoli la quota minima raggiunta da m rispetto all quota di O, speciicando la traiettoria descritta da $ m $ nel suo moto.

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Bacco
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Messaggio da Bacco » 29 ago 2006, 17:48

Bellino! Spero di aver capito bene il fatto della molla...

secondo la mia interpretazione:

$ \frac{d^2y}{dt^2}=-g-ky/m $
$ \frac{d^2x}{dt^2}=-kx/m $

quindi sono due moti armonici (ganzo!) della stessa frequenza e in fase. Poi sono solo conti... si risolvono le differenziali, sapendo le velocità iniziali in x e in y, e poi:
- nel primo caso, il moto è solo orizzontale e la max. distanza si trova facilmente anche con l'energia
-nel secondo caso si pone t = T/4 (o 3T/4, dipende se l'impulso va in su o in giu) e si fa la somma dei quadrati delle coordinate.

Ciao!

drago88
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Messaggio da drago88 » 29 ago 2006, 19:46

Esatto! per chi non conosce l'analisi o comunque non sa risolvere le equazioni differenziali un metodo carino per la risoluzione del problema è il seguente. si considera la molla in questione come costituita da 2 molle collegate alla massa $ m $:

(a) una verticale di costante elastica $ K $ e allungamento iniziale $ L = \frac{mg}{K} $ che rimanga sempre verticale indipendentemente dalla posizione della massa $ m $.

(b) una orizzontale sempre di costante elastica $ K $ e allungamento iniziale nullo che rimanga sempre orizzontale indipendentemente dalla posizione della massa $ m $.

E' facile vedere che il sitema delle due molle è equivalente alla molla che il problema presenta. la forza elastica per un punto di coordinate $ (x;y) $ la forza elastica calcolata con la molla iniziale è:$ F_el = K \sqrt{x^2+y^2} $ che è identica alla forza risultate le 2 forze esecitate dalle 2 molle nello stesso punto: $ F_r = \sqrt{ k^2 (x^2 + y^2) } $.

Considerando il problema nel caso (a) è immediato vedere che l'unica molla ad essere influenza dall'impulso è la molla orizzontale. La molla verticale non subisce variazione di lunghuezza e inizia a spostarsi seguendo la massa mantenendo si sempre verticale.La massa $ m $ si muova dunque orizzontalmente di moto armonico. La massima distanza alla quale si viene a trovare si calcola utilizzando la conservazione dell'energia.

$ \frac {1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} K L^2 = \frac{1}{2} K x^2 + \frac{1}{2} K L^2 $ ricordando che $ \sqrt{x^2 + L^2} $ equivale alla distanza cercata si risolve e si ottiene$ l_m = \sqrt{\frac{mv^2}{K}+L^2} $

Nel caso (b) anche la molla verticale è influenzata dall'impulso. Sempre applicando il principio di conservazione dell'energia si ottiene ponendo lo zero dell'energia potenziale alla quota minima raggiunta da m rispetto all quota di O:
$ \frac {1}{2} m v_y^2 + \frac{1}{2} K L^2 + mgy= \frac{1}{2} K y^2 $. Si ottiene una equazione di secondo grado, le cui soluzioni forniscono la quota del punto degli estremi di oscillazione della molla verticale.

Spero di non aver commesso qualche errore. Ciao a tutti.

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