Tubo con gas [SNS 05-06 / 6]

Meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, relatività, ...
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Ani-sama
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Tubo con gas [SNS 05-06 / 6]

Messaggio da Ani-sama » 24 ago 2006, 00:13

Un gas monoatomico ideale scorre all’interno di un lungo tubo di sezione costante $ $A$ $. Nel primo tratto del tubo, la velocità di scorrimento del gas è $ $v$ $, la sua temperatura $ $T$ $ e la sua densita $ $\rho$ $. Nel mezzo del tubo vi è un dispositivo solidale col tubo che cede al gas una quantità di energia per unità di tempo pari a $ $W$ $. Nel tratto finale del tubo, la velocità di scorrimento del gas è $ $v_0$ $con $ $0 < v_0 -v \ll v$ $, la sua temperatura $ $T_0$ $ e la sua densità $ $\rho_0$ $. Assumendo che la pressione $ $P$ $ del gas lungo tutto il tubo sia costante, si determini la forza di reazione risultante sul tubo in funzione di $ $W, v, r, P$ $.
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tuvok
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Messaggio da tuvok » 24 ago 2006, 18:15

A me usciva $ F= \displaystyle \frac{2\rho vW}{2\rho v^2+5P} $, che ne pensate?
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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 24 ago 2006, 18:49

tuvok ha scritto:A me usciva $ F= \displaystyle \frac{2\rho vW}{2\rho v^2+5P} $, che ne pensate?
a me pure sembra..

parte tutto da $ \displaystyle F = \frac{dm}{dt}(v' - v) $...

poi $ \displaystyle E_k = \frac{1}{2}dm (v'^2 - v^2) $ è la variazione di energia cinetica

e la variazione di energia termica da $ dm c_P (T' - T) $

infine con un paio di conti viene la formula di Tuvok.

Quel 5 nella formula finale deriva da $ c_P = \frac{5}{2} R $
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Ani-sama
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Messaggio da Ani-sama » 24 ago 2006, 18:56

Uhm, questo problema non mi veniva, solo ora, vedendo la soluzione, mi accorgo che sbagliavo completamente approccio... i ragionamenti astrusi che avevo fatto non hanno mai condotto a niente... mah! Forse sono solo scarso :D.
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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 24 ago 2006, 19:00

ah , Ani-Sama dimenticavo che il $ dt $ viene perchè si sà che la differenza di energia è quella immessa al centro dalla potenza $ W $
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edelion
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Messaggio da edelion » 25 ago 2006, 10:08

a me viene molto simile,

F=2/5 pvW/P

però io ho usato anche il fatto che la stessa massa di gas varrà inizialmente pSv*dt e successivamente all'acquisto di energia varrà p'Sv'*dt

quindi v'p' = vp

da qui ho ricavato (v' - v) in funzione della densità e poi della temperatura,
(v' - v) = (T' - T)/T

e poi ho sostituito W nella formula della forza

se trovate qualche errore nel ragionamento, sarei grato se me lo faceste sapere
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Messaggio da Gauss_87 » 25 ago 2006, 12:47

edelion ha scritto: (v' - v) = (T' - T)/T
i ragionamenti precedenti sono uguali ai miei, mentre questa formula mi sembra di no, io ho:

$ \frac{v'}{v} = \frac{T'}{T} $
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Messaggio da edelion » 25 ago 2006, 13:09

sì hai ragione scusa, mi son dimenticato una v per strada

(v' - v) = v (T' - T) / T

che equivale a v/v' = T/T'

però non capisco da dove venga fuori il pv^2 del denominatore
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NEONEO
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Messaggio da NEONEO » 25 ago 2006, 14:52

Ciao scusa tuvok potresti postare i tuoi passaggi che li confronto con i miei?
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Bacco
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Messaggio da Bacco » 25 ago 2006, 16:18

@edelion: il v^2 al denominatore è l'aumento di energia cinetica!

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tuvok
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Messaggio da tuvok » 25 ago 2006, 18:40

NEONEO ha scritto:Ciao scusa tuvok potresti postare i tuoi passaggi che li confronto con i miei?
Ok, ecco come l'ho fatto io: si definisce l'energia totale del gas $ E\, $ come la somma dell'energia interna $ U\, $ e dell'energia cinetica $ K\, $. Detto $ L\, $ il lavoro fatto dal gas in espansione, per la conservazione dell' energia è noto che $ \frac{dE}{dt}+\frac{dL}{dt}=W $ [1]. Si calcolano ora le seguenti quantità:
$ \frac{dE}{dt}=\frac{d}{dt} \left ( \frac{3}{2}nRT+\frac {mv^2}{2} \right )=\frac{3P}{2} \frac{dV}{dt}+mv\frac{dv}{dt} $
$ \frac{dL}{dt}=P\frac{dV}{dt} $
Tenendo conto che $ m\frac{dv}{dt}=F $ e che $ \frac{dV}{dt}=A(v'-v) $, operando le opportune sostituzioni nella [1] si ottiene
$ Fv+\frac{5}{2}PA(v'-v)=W $ [2]
E' noto anche che $ F=m\frac{v'-v}{\Delta t} \approx \rho A \frac{dx}{dt}dv=\rho Avdv $ poichè $ v'-v<<v $
Da ciò si ricava la differenza di velocità: $ A(v'-v) \approx Adv=\frac{F}{\rho v} $
Operando questa sostituzione nella [2] si ottiene $ F \left (v+\frac{5P}{2\rho v} \right )=W $, da cui si ricava la forza che il tubo fa sul gas (e quindi anche quella che il gas fa sul tubo) $ F= \displaystyle \frac{2 \rho vW}{2\rho v^2+5P} $
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NEONEO
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Messaggio da NEONEO » 25 ago 2006, 23:07

GIà.... :D
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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 26 ago 2006, 10:33

tuvok ha scritto:
NEONEO ha scritto:Ciao scusa tuvok potresti postare i tuoi passaggi che li confronto con i miei?
Ok, ecco come l'ho fatto io: si definisce l'energia totale del gas $ E\, $ come la somma dell'energia interna $ U\, $ e dell'energia cinetica $ K\, $. Detto $ L\, $ il lavoro fatto dal gas in espansione, per la conservazione dell' energia è noto che $ \frac{dE}{dt}+\frac{dL}{dt}=W $ [1]. Si calcolano ora le seguenti quantità:
$ \frac{dE}{dt}=\frac{d}{dt} \left ( \frac{3}{2}nRT+\frac {mv^2}{2} \right )=\frac{3P}{2} \frac{dV}{dt}+mv\frac{dv}{dt} $
$ \frac{dL}{dt}=P\frac{dV}{dt} $
Tenendo conto che $ m\frac{dv}{dt}=F $ e che $ \frac{dV}{dt}=A(v'-v) $, operando le opportune sostituzioni nella [1] si ottiene
$ Fv+\frac{5}{2}PA(v'-v)=W $ [2]
E' noto anche che $ F=m\frac{v'-v}{\Delta t} \approx \rho A \frac{dx}{dt}dv=\rho Avdv $ poichè $ v'-v<<v $
Da ciò si ricava la differenza di velocità: $ A(v'-v) \approx Adv=\frac{F}{\rho v} $
Operando questa sostituzione nella [2] si ottiene $ F \left (v+\frac{5P}{2\rho v} \right )=W $, da cui si ricava la forza che il tubo fa sul gas (e quindi anche quella che il gas fa sul tubo) $ F= \displaystyle \frac{2 \rho vW}{2\rho v^2+5P} $
uguale alla mia :wink:
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Messaggio da what » 26 ago 2006, 13:45

salve, gotha della fisica.
vengo a porvi un (bel) po' di domande, perché non ho la più pallida idea di cosa stiate parlando... :oops:

allora...

tuvok ha scritto:si definisce l'energia totale del gas $ E\, $ come la somma dell'energia interna $ U\, $ e dell'energia cinetica $ K\, $
il mio fedele amaldi dice che l'energia interna U di un gas è definita come la somma dell'energia cinetica e potenziale... che senso ha allora parlare di U+K?
tuvok ha scritto:Detto $ L\, $ il lavoro fatto dal gas in espansione, per la conservazione dell' energia è noto che $ \frac{dE}{dt}+\frac{dL}{dt}=W $
questa "conservazione dell'energia sarebbe il primo principio della termodinamica?
se sì, allora io lo conoscevo come $ \Delta U =Q-L $, nel nostro caso $ \displaystyle W=\frac {dU}{dt}+\frac{dL}{dt} $. dove sbaglio?
altrimenti, di cosa si tratta?

tuvok ha scritto:Tenendo conto (...) che $ \frac{dV}{dt}=A(v'-v) $
e questa formula da dove te la ricavi?

tuvok ha scritto: E' noto anche che $ F=m\frac{v'-v}{\Delta t} \approx \rho A \frac{dx}{dt}dv=\rho Avdv $ poichè $ v'-v<<v $
questo passagio non l'ho proprio capito... qualcuno me lo spiega?

tuvok ha scritto: Da ciò si ricava la differenza di velocità: $ A(v'-v) \approx Adv=\frac{F}{\rho v} $
anche qui miagolo nel buio, cercando una risposta...

edelion ha scritto:la stessa massa di gas varrà inizialmente pSv*dt e successivamente all'acquisto di energia varrà p'Sv'*dt
stai assumenso che la massa che attraversa una superficie nell'unità di tempo è costante, giusto? ma perché puoi farlo?

un grazie anticipato ai volenterosi che mi risponderanno

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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 26 ago 2006, 14:50

what ha scritto:
tuvok ha scritto:si definisce l'energia totale del gas $ E\, $ come la somma dell'energia interna $ U\, $ e dell'energia cinetica $ K\, $
il mio fedele amaldi dice che l'energia interna U di un gas è definita come la somma dell'energia cinetica e potenziale... che senso ha allora parlare di U+K?
immagina la "potenziale" di cui parli te come la capacità del gas di scambiare calore..

what ha scritto:
tuvok ha scritto:Detto $ L\, $ il lavoro fatto dal gas in espansione, per la conservazione dell' energia è noto che $ \frac{dE}{dt}+\frac{dL}{dt}=W $
questa "conservazione dell'energia sarebbe il primo principio della termodinamica?
se sì, allora io lo conoscevo come $ \Delta U =Q-L $, nel nostro caso $ \displaystyle W=\frac {dU}{dt}+\frac{dL}{dt} $. dove sbaglio?
altrimenti, di cosa si tratta?
considera che il primo principio della termodinamica è un surrogato della conservazione dell'energia, in pratica se fai lavoro su un corpo questo può cederlo all'esterno scambiando calore oppure tenerselo aumentando la sua temperatura.
pertanto quella lì è conservazione dell'enrgia cinetica + termica.

per tutto il resto devi considerare una massetta $ dm $ di sezione $ A $ e lunghezza $ dl $, la quale (la stessa massetta) nel secondo tratto assumerà lunghezza $ dl' $ quindi cambierà densità.

Il suggerimento del testo lo interpreti come $ v' + v = 2v $
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