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Meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, relatività, ...
David
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Messaggio da David » 25 ago 2006, 12:17

hai colto esattamente nel segno!
quando hai una distribuzione di cariche su una superficie sferica è comodo considerare tutte le cariche al centro della sfera.
in questo caso abbiamo una circonferenza, che non è una superficie sferica.

inoltre per trovare la distanza di una qualunque stella rispetto a quella "scelta" si trova con il teorema delle corde, per cui:
$ d=2Rsin(\alpha) $ dove $ \alpha $ è l'angolo alla circonferenza tra la stella "scelta", la sua opposta e la stella di cui dobbiamo misurare la distanza.
inserisco anche l'integrale che ho trovato utilizzando la distanza così definita.
la densità di massa lineare è costante, per cui:
$ \rho=\frac{M}{2\pi R} $
la massa di ogni stella è: $ m=2R\rho d\alpha $ per cui il campo totale su una stella qualunque è $ g=\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\frac{G2R\rho d\alpha}{(2Rsin(\alpha))^{2}} $
risparimio i passaggi e scrivo direttamente la formula finale:
$ g=\frac{1}{4}\frac{G\rho}{2R}[t-\frac{1}{t}]^1_{-1} $

edit: ho modificato 0 e infinito con 1 e -1.
edit: ho cancellato il risultato visto che non porta infinito...
Ultima modifica di David il 25 ago 2006, 15:28, modificato 3 volte in totale.

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NEONEO
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Messaggio da NEONEO » 25 ago 2006, 12:41

Scusa, ma la primitiva di 1/(sin)^2 non è mica -cotg?
Ultima modifica di NEONEO il 25 ago 2006, 14:27, modificato 1 volta in totale.
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David
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Messaggio da David » 25 ago 2006, 14:04

il calcolo dell'integrale l'ho svolto così (faccio semplicemente l'integrale indefinito):
$ \int\frac{1}{sin^{2}(x)}dx $ (1)
$ sin(x)=\frac{2tg(\frac{x}{2})}{1+tg^{2}(\frac{x}{2})} $ (2)
sostituisco la (2) nella (1), poi pongo $ tg(\frac{x}{2})=t $ quindi $ dx=\frac{dt}{1+tg^{2}(\frac{x}{2}} $ ok?
sostituendo tutto si ottiene:
$ \int{\frac{1+t^{2}}{2t}}^{2}\frac{dt}{1+t^{2}} $ che si risolve in:
$ \int(\frac{1}{4t^{2}}+\frac{t^{2}}{4t^{2}}dt) $
semplifico e divido l'integrale:
$ \int\frac{1}{4}dt+\int\frac{1}{4t^{2}}dt $
e quindi:
$ \int\frac{1}{4}dt+\int\frac{1}{4t^{2}}dt=\frac{1}{4}\frac[t-\frac{1}{t} $
non capisco che vuoi dire con $ -cotg^{2} $ non compare mai.
nel caso dell'integrale definito il valore che assume il limite dell'integrale (trattandosi di un integrale improprio) è $ \infty $ in quanto questo è il valore dell'area della tangentoide tra 0 e $ \frac{\pi}{2} $
dopo diversi controlli continuo a non trovare errori...

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NEONEO
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Messaggio da NEONEO » 25 ago 2006, 14:26

No dicevo che era molto più facile se ti accorgevi che la primitiva di 1/sen^2 è -cotg
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NEONEO
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Messaggio da NEONEO » 25 ago 2006, 14:35

Non + che hai sbagliato gil estremi di integrazione dopo che hai sostituito?
Per me non sono 0 e infinito ma -1 e 1.
Inoltre anche se integri con la cotangente ottieni l'integrale che fa zero. :shock: Qulacosa non va....
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David
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Messaggio da David » 25 ago 2006, 15:23

hai ragione, la derivata di -cotg(x) è 1/sin^2(x) (se me lo fossi ricordato mi sarei risparmiato tutti i calcoli :D :D )
in effetti gli estremi di integrazione che ho scritto sono sbagliati perchè ho scritto una cosa ma ne pensavo un'altra. l'angolo che ho scritto qui sul forum effettivamente varia tra [$ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} $] e quindi gli estremi di integrazione sono 1 e -1. sui miei fogli invece avevo preso un altro angolo in considerazione, quello formato dalla tangente della stella scelta e quella di cui devo calcolarmi la distanza. quindi in questo caso x varia tra [$ 0,\pi $].
Da adesso adotterò l'angolo che ho già usato qui, quindi vado a cambiare gli estremi di integrazione con 1 e -1.

David
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Messaggio da David » 25 ago 2006, 15:38

e in effetti cambiando gli estremi di integrazione torna 0.
ma che significa :?: :?: :?: :?: :?: :?: :?: :?: :?: :?: :?: :?:
non so più dove mettere le mani...
CHE QUALCUNO CI AIUTI!
grazie.

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Bacco
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Messaggio da Bacco » 25 ago 2006, 16:16

Allora, vediamo di fare un po' di chiarezza....

Rispetto a un punto fissato, un altro punto della circonferenza dista $ d^2=2R^2(1-cos x) $ dove $ x $ è l'angolo al centro (Carnot!).

Calcoliamo il campo:

faccio l'integrale da 0 a 180 e lo moltiplico per 2:

$ \displaystyle g=2\int_0^\pi \frac{G dm}{d^2}=\int_0^\pi \frac{GMdx}{2\pi R^2(1-cos x)}=\int_0^\pi \frac{GMd(x/2)}{2\pi R^2 sen^2 (x/2)} $ che fa
$ \displaystyle-\frac{GM}{2\pi R^2} ctg (x/2) $ da $ 0^+ $ a $ \pi $
che è $ \displaystyle\frac{GM}{2\pi R^2} (ctg (0^+/2) - ctg (\pi /2))=+\inf $.

Dunque $ \omega=+\inf $.

Aggiungo che secondo me il vostro errore sta nel modo sbagliato di fare l'integrale improprio: quando si hanno dei punti di discontinuità in corrispondenza di entrambi gli estremi, bisogna scegliere un punto c compreso tra di essi (nel mio caso l'ho scelto a metà, sfruttando la simmetria) e calcolare due integrali separati, ognuno con un limite, altrimenti viene una ingestibile differenza di infiniti.... (Grazie alla mia prof. di matematica che mi ha insegnato questa cosa.... è utile)
Oh comunque si vedeva anche a occhio che fa infinito.... 1/sen^2 non è mai negativo e vicino agli estremi di integrazione fa + infinito....

Ciao!

David
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Messaggio da David » 25 ago 2006, 16:26

GRAZIE!
finalmente qualcosa torna... quindi avrei dovuto spezzare l'integrale in 2 eh? bell'idea... adesso mi rifaccio i calcoli, ma credo che mi verrà infinito anche a me...

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