ruote dentate

Meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, relatività, ...
Avatar utente
mates
Messaggi: 65
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

ruote dentate

Messaggio da mates » 17 ago 2006, 16:39

Propongo un classico che però spesso causa confusione.

Abbiamo due ruote dentate fatte dello stesso materiale. Il raggio di una è il doppio di quello dell'altra ed ha anche un numero doppio di denti.
Le due ruote sono fissate a due assi paralleli passanti per il loro centro.
All'inizio non si toccano e quella più grande gira a velocità costante $ \displaystyle \omega $.
Improvvisamente, spostando leggermente uno dei due assi, le ruote sono messe in contatto.
Trovare la velocità angolare finale.

Avatar utente
Gauss_87
Messaggi: 294
Iscritto il: 21 gen 2006, 17:20
Località: Pisa

Messaggio da Gauss_87 » 17 ago 2006, 17:33

Inizialmente quella più piccola è ferma?
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

Avatar utente
mates
Messaggi: 65
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da mates » 17 ago 2006, 18:43

Si, è ferma

BMcKmas
Messaggi: 343
Iscritto il: 13 mar 2006, 16:40

Messaggio da BMcKmas » 18 ago 2006, 11:27

Il problema non è formulato in modo completo.
Non è chiaro se le due ruote hanno lo stesso spessore (come più ragionevole meccanicamente) oppure la seconda ha lo spessore doppio della prima (come più probabile per un rompicapo!)
Comunque. chiamo $ I_1, I_2 $ i momenti d'inerzia di massa delle due ruote, sarà quindi $ I_2=k I_1 $ dove:
$ k=16 $ se lo spessore è lo stesso e
$ k=32 $ se è il doppio.

chiamate $ \omega_0, \omega_1 $ le velocità angolari iniziale e finale della prima ruota (per la seconda dopo l'urto $ \omega_2=\omega_1/2 $), trascurando le perdite di energia cinetica nell'urto:

$ \omega_1=\omega_0/\sqrt{1+k/4} $

nel caso di spessore doppio:

$ \omega_1=\omega_0/3 $
BMcKMas

"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio

Avatar utente
mates
Messaggi: 65
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da mates » 18 ago 2006, 11:54

Per semplicità assumete che le ruote abbiano lo stesso spessore.
BMcKmas ha scritto:chiamate $ \omega_0, \omega_1 $ le velocità angolari iniziale e finale della prima ruota (per la seconda dopo l'urto $ \omega_2=\omega_1/2 $), trascurando le perdite di energia cinetica nell'urto:
Hmmm, l'energia cinetica non si conserva per niente !!!
L'ho postato apposta... Ti assicuro che si può fare in maniera adeguata anche senza ricorrere all'energia.

Avatar utente
Gauss_87
Messaggi: 294
Iscritto il: 21 gen 2006, 17:20
Località: Pisa

Messaggio da Gauss_87 » 18 ago 2006, 12:06

Scusami, io applicherei:

Conservazione del Momento Angolare + Velocità Perfierica Uguale una volta a contatto.

Dette $ \omega_1 $ e $ \omega_2 $ le velocità angolari dei due cilindri dopo il contatto:

$ I_1 \omega = I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2 $ (1)

$ \omega_1 R_1 = \omega_2 R_2 $ (2)

BMcKmas ha ragione, nella (1), per esplicitare $ I_i $ ci servirebbero le due masse.

Per il resto, note quelle, sono 2 equazioni in 2 incognite
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

Avatar utente
Gauss_87
Messaggi: 294
Iscritto il: 21 gen 2006, 17:20
Località: Pisa

Messaggio da Gauss_87 » 18 ago 2006, 12:10

BMcKmas ha scritto: trascurando le perdite di energia cinetica nell'urto:
decisamente superflua questa nota visto che non si parla delle modalità con cui i due cilindri vengono avvicinati e non si parla di urto
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

Avatar utente
mates
Messaggi: 65
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da mates » 18 ago 2006, 12:30

Gauss_87 ha scritto:Scusami, io applicherei:

Conservazione del Momento Angolare + Velocità Perfierica Uguale una volta a contatto.
hehehehehe, assumere che il momento angolare si conservi $ \displaystyle \neq $ dimostrare che il momento angolare effettivamente si conserva.....
Qual'è la condizione per la conservazione del momento angolare ? Pensaci bene e fammi sapere :D .

Per quanto riguarda le masse vi serve solo sapere che le ruote sono fatte dello stesso materiale e quindi hanno la stessa densità.
Gauss_87 ha scritto: $ \omega_1 R_1 = \omega_2 R_2 $
La ruota più grande ha un numero di denti doppio di quella più piccola, quindi ad un giro della più grande corrispondono due giri della più piccola, giusto ?

Questo problema è semplice ma non banale.....
Ciao

mates

BMcKmas
Messaggi: 343
Iscritto il: 13 mar 2006, 16:40

Messaggio da BMcKmas » 18 ago 2006, 12:44

mates ha scritto:
Hmmm, l'energia cinetica non si conserva per niente !!!
L'ho postato apposta... Ti assicuro che si può fare in maniera adeguata anche senza ricorrere all'energia.
Scusa ... ma allora dove va l'energia cinetica che non si conserva?
BMcKMas

"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio

BMcKmas
Messaggi: 343
Iscritto il: 13 mar 2006, 16:40

Messaggio da BMcKmas » 18 ago 2006, 12:47

mates ha scritto:
Gauss_87 ha scritto:Scusami, io applicherei:

Conservazione del Momento Angolare + Velocità Perfierica Uguale una volta a contatto.
hehehehehe, assumere che il momento angolare si conservi $ \displaystyle \neq $ dimostrare che il momento angolare effettivamente si conserva.....
Già!
Il sistema nel suo complesso non mi sembra per niente isolato!

ciao
BMcKMas

"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio

Avatar utente
mates
Messaggi: 65
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da mates » 18 ago 2006, 12:59

BMcKmas ha scritto: Scusa ... ma allora dove va l'energia cinetica che non si conserva?
Beh, quando i denti vanno a contatto è come se avessi un urto completamente anelastico tra due corpi (due corpi si scontrano e rimangono attaccati). Se ci pensi, in questo problema è la stessa cosa: la velocità finale relativa dei dentini in contatto è nulla. Una parte di energia cinetica si trasforma quindi in vibrazioni, suono, piccole deformazioni, calore, eccetera.
Una volta che avete risolto il problema si può calcolare a quanto ammonta l'energia cinetica persa.

Ciao
mates

Avatar utente
Bacco
Messaggi: 295
Iscritto il: 04 ago 2005, 16:03

Messaggio da Bacco » 18 ago 2006, 15:42

Direi che se considero la forza F(t) di reazione nei denti a contatto, e poi il momento che si genera, scrivo l'integrale in dt senza risolverlo (ma tirando fuori il fattore del raggio) e lo pongo uguale alla variazione di L in ognuna delle ruote dovrei avere la soluzione, più o meno.

Ciao

Avatar utente
HarryPotter
Moderatore
Messaggi: 354
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pavia

Messaggio da HarryPotter » 18 ago 2006, 16:29

Mi toglierò anche questo sfizio: postare nel forum di fisica.... :D

Per questo problema ho litigato con un ingegnere meccanico ultraottantenne (come è vario il mondo...) e quindi è con orgoglio che ne posto la soluzione:

Non si ha la conservazione nè del momento angolare nè dell'energia cinetica, tuttavia possiamo ricorrere al teorema dell'impulso angolare che ci ricorda che in un urto vale la seguente proprietà:

$ J_{ang} = \int \tau (t) dt = \overline{F} r \Delta t = \Delta L $

Chiamo $ \omega_{0} $ la velocità angolare iniziale della ruota rotante di raggio $ R_1 $ e $ \omega_{1} $ la sua velocità angolare finale, mentre chiamiamo $ \omega_{2} $ la velocità angolare finale della ruota inizialmente ferma di raggio $ R_2 $.

Quando le due ruote saranno in trasmissione avremo la seguente relazione:

$ \omega_{2}= \frac{R_1}{R_2} \omega_1 $

Inoltre il teorema sopra enunciato ci fornisce un'altra relazione tra le due velocità angolari (in quanto l'urto è uguale in modulo e opposto per le due ruote:

$ - \frac{\Delta L_1}{R_1}=\frac{\Delta L_2}{R_2} $

Adesso sfruttiamo il fatto che $ L = I \omega $ e che per una ruota che gira attorno al suo asse si ha che $ I = \frac{1}{2} M R^2 $.

Di conseguenza sostituendo momento angolare e momento d'inerzia nella precedente relazione si ha:

$ - \frac{M_1 R_1^2 \omega_1 - M_1 R_1^2 \omega_0}{R_1}=\frac{M_2 R_2^2 \omega_2}{R_2} $

Da cui:

$ \omega_1 = \frac {M_1R_1\omega_0 - M_2 R_2 \omega_2}{M_1 R_1} $

E quindi sostituendo nell'equazione di partenza dovuta alla trasmissione:

$ \omega_2 = \frac{M_1 R_1 }{(M_1 + M_2) R_2}\omega_0 $

e:

$ \omega_1= \frac{M_1 }{M_1 + M_2 }\omega_0 $

Arrivati a questo punto possiamo inserire i dati del problema che ci dicono che $ R_1=2R_2 $ e che $ M_1=4 M_2 $ e si ottengono i risultati del post di sotto (con una quantità di calcoli in più...).

Penso sia giusto, modulo errori di calcolo... Attendo correzioni da personi più competenti in un campo che non è il mio.

P.S Preceduto dal maestro... :evil:

EDIT: i temuti errori di calcolo...
Ultima modifica di HarryPotter il 18 ago 2006, 16:59, modificato 1 volta in totale.

Avatar utente
Bacco
Messaggi: 295
Iscritto il: 04 ago 2005, 16:03

Messaggio da Bacco » 18 ago 2006, 16:35

Non è detto che il mom. angolare si conservi... rispetto a quale asse? Anche gli assi delle ruote possono applicare delle forze.... si conserverebbe rispetto al punto di contatto se le ruote fossero libere su un piano orizzontale, senza asse vincolato.

Io lo farei così:
considero la forza F(t) che si sviluppa nel punto di contatto.
Allora scrivo il momento angolare separatamente per le due ruote:

$ I_1w_1=I_1w-\int FR_1 dt $
$ I_2w_2=\int FR_2 dt $
$ R_1=2R_2 $
$ w_1R_1=w_2R_2 $

l'ultima perchè dato che il numero di denti è proporzionale alla lunghezza della circonferenza allora la velocità tangenziale è uguale.

Inoltre $ I_1=16I_2 $.

Ottengo (senza risolvere l'integrale, ma solo portando fuori il fattore 2 che mi serve):
$ w_1=4w/5 $
$ w_2=8w/5 $

Da cui $ \Delta E=-1/5 E_0 $, $ \Delta L_{tot}=-3/10 L_{0\! tot} $ (rispetto a un asse fisso a piacere, ovviamente).

Sperando che sia giusto,
ciao

Avatar utente
mates
Messaggi: 65
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da mates » 18 ago 2006, 17:32

Esatto Bacco ed HarryPotter !! Bella soluzione. :D

Questo problema spesso inganna perchè si è troppo abituati ad usare la conservazione di energia e momento angolare.

Alla prossima,
ciao

mates

Rispondi