un momento...
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Sto cercando di capire come ricavare la formula del momento d'inerzia per i diversi solidi (cilindro, asta, asse sfera). Non so come sfruttare la definizione $ I = \displaystyle{\int\ r^2dm} $.
No guarda che hai sbagliato il differenziale che è dr, dm è giusto solo se al suo posto sostituisci l'equazione che mette in relazione l'infinitesimo di massa con la distanza dal centro di rotazione.
Es. cilindro
$ \displaystyle dm=\rho h 2\pi r dr $ dove i primi due simboli sono la densità del materiale supposta uniforme e lo spessore del cilindro anch'esso uniforme.
$ \displaystyle I=\int_0^R{dmr^2dr}=\int_0^R{2\pi \rho h r^3dr}=\frac{2\pi\rho h r^4}{4}=\frac{MR^2}{2} $
Utto chiaro?
ciao, Diego.
Es. cilindro
$ \displaystyle dm=\rho h 2\pi r dr $ dove i primi due simboli sono la densità del materiale supposta uniforme e lo spessore del cilindro anch'esso uniforme.
$ \displaystyle I=\int_0^R{dmr^2dr}=\int_0^R{2\pi \rho h r^3dr}=\frac{2\pi\rho h r^4}{4}=\frac{MR^2}{2} $
Utto chiaro?
ciao, Diego.
Ultima modifica di NEONEO il 16 ago 2006, 20:04, modificato 1 volta in totale.
Welcome to the real world...
Beh, la definizione di sqrt2 è giusta ed è generale (ricordati che il corpo non sempre è omogeneo....)NEONEO ha scritto:No guarda che hai sbagliato il differenziale che è dr, dm è giusto solo se al suo posto sostituisci l'equazione che mette in relazione l'infinitesimo di massa con la distanza dal centro di rotazione.
Quello che dici tu, ossia scrivere dm in funzione di dr è solo un modo per calcolare quell'integrale, che rimane giusto anche con il 'dm'.
Intendi $ dm=\rho h 2\pi r \ dr $, vero ?NEONEO ha scritto:Es. cilindro
$ \displaystyle dm=\rho h 2\pi r $
Per il resto l'esempio è giusto.
Ciao
mates
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Caro compaesano, sto studiando anche io lo stesso argomento... in generale non esiste un metodo per risolvere quell'integrale, ma solo casi più o meno semplici
Ti do alcune indicazioni generali: il guscio sferico ha r costante per cui lo puoi tirare fuori dall'integrale; la sfera la ottieni per sovrapposizione di gusci sferici; l'anello con il raggio costante, il disco per somma di anelli concentrici, il cilindro per sovrapposizione di anelli e così via...
Ti do alcune indicazioni generali: il guscio sferico ha r costante per cui lo puoi tirare fuori dall'integrale; la sfera la ottieni per sovrapposizione di gusci sferici; l'anello con il raggio costante, il disco per somma di anelli concentrici, il cilindro per sovrapposizione di anelli e così via...
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