Si chiede di stimare la temperatura $ T\, $ dell'aria in cima a un grattacielo di altezza $ H\, $ sapendo che:
-la temperatura al suolo è $ T_0\, $
-l'aria può essere considerata un gas perfetto biatomico (costituito da azoto, si trascurano gli altri componenti) che si espande adiabaticamente con $ \gamma=7/5 $
-la massa di una molecola di azoto è $ m\, $
-sono note l'accelerazione di gravità $ g\, $ considerata costante e la costante di boltzmann $ k\, $
Per risolvere il problema può essere utile ricavare una relazione che leghi le variazioni relarive di pressione $ dp/p $ e temperatura $ dT/T $ collegate a una variazione di altezza.
grattacielo
Dalla legge di Stevino abbiamo:
$ \displaystyle \frac{{dp}}{{dz}} = - \rho g $
dove $ \displaystyle \rho $ può essere espresso in funzione della pressione e della
temperatura attraverso l'equazione di stato dei gas perfetti:
$ \displaystyle \rho = \frac{{pm}}{{kT}} $
Possiamo riscrivere la legge di stevino come:
$ \displaystyle \frac{{dp}}{p} = a\frac{{dz}}{T} $
avendo posto $ \displaystyle a = - \frac{{mg}}{k} $
Se l'aria si evolve abiabaticamente allora
$ \displaystyle p = p_0 \left( {\frac{{T_0 }}{T}} \right)^{\frac{\gamma }{{1 - \gamma }}} $
$ \displaystyle \ln p = \ln p_o + \frac{\gamma }{{1 - \gamma }}\ln \frac{T_0}{{T }} $
$ \displaystyle \frac{{dp}}{p} = \frac{\gamma }{{\gamma - 1}}\frac{{dT}}{T} $
Sostituendo nella legge di Stevino e integrando membro a membro si
ottiene:
$ \displaystyle T = T_0 + bz $
dove $ \displaystyle b = a\frac{{\gamma - 1}}{\gamma } = \frac{{mg\left( {1 - \gamma } \right)}}{{k\gamma }} $
Spero di nn aver fatto errori. L'hai svolto nella stessa maniera?
Ciao
$ \displaystyle \frac{{dp}}{{dz}} = - \rho g $
dove $ \displaystyle \rho $ può essere espresso in funzione della pressione e della
temperatura attraverso l'equazione di stato dei gas perfetti:
$ \displaystyle \rho = \frac{{pm}}{{kT}} $
Possiamo riscrivere la legge di stevino come:
$ \displaystyle \frac{{dp}}{p} = a\frac{{dz}}{T} $
avendo posto $ \displaystyle a = - \frac{{mg}}{k} $
Se l'aria si evolve abiabaticamente allora
$ \displaystyle p = p_0 \left( {\frac{{T_0 }}{T}} \right)^{\frac{\gamma }{{1 - \gamma }}} $
$ \displaystyle \ln p = \ln p_o + \frac{\gamma }{{1 - \gamma }}\ln \frac{T_0}{{T }} $
$ \displaystyle \frac{{dp}}{p} = \frac{\gamma }{{\gamma - 1}}\frac{{dT}}{T} $
Sostituendo nella legge di Stevino e integrando membro a membro si
ottiene:
$ \displaystyle T = T_0 + bz $
dove $ \displaystyle b = a\frac{{\gamma - 1}}{\gamma } = \frac{{mg\left( {1 - \gamma } \right)}}{{k\gamma }} $
Spero di nn aver fatto errori. L'hai svolto nella stessa maniera?
Ciao
