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Inviato: 27 lug 2006, 19:48
da Gauss_87
scusate ma qualcuno ha scritto come trovare l'area del foro :?:

Inviato: 27 lug 2006, 20:19
da nnsoxke
Una volta trovato l'andamento di p sai che p(0)=p0 e p(8 min)= p1, questo ti permette di ricavare A

Inviato: 27 lug 2006, 20:51
da tuvok
Basta invertire la formula:
$ \displaystyle A=\frac{V}{v\Delta t}\ln{\frac{p_0}{p_1}}=\frac{V}{\Delta t}\sqrt{\frac{M}{RT}}\ln{\frac{p_0}{p_1}} $

Inviato: 28 lug 2006, 11:12
da Gauss_87
tuvok ha scritto:Basta invertire la formula:
$ \displaystyle A=\frac{V}{v\Delta t}\ln{\frac{p_0}{p_1}}=\frac{V}{\Delta t}\sqrt{\frac{M}{RT}}\ln{\frac{p_0}{p_1}} $
Scusatemi ma all'inizio avevo indicato A come la massa molare dell'aria quindi guardando il topic di fretta e non avendo visto formule con variabili nuove non mi ero accorto che A fosse l'area del foro :roll:

Inviato: 28 lug 2006, 17:15
da Gauss_87
tuvok ha scritto:
Io ho ragionato così: sia $ n(t)\, $ il numero di moli di aria presente all'istante $ t\, $.

Allora la variazione infinitesima del numero di moli sarà data da $ dn=-\frac{n(t)}{V}Avdt $ ossia $ \frac{dn(t)}{dt}=-\frac{n(t)}{V}Av $
dove $ v\, $ è la velocità quadratica media delle molecole lungo una direzione $ v=\sqrt{\frac{RT}{M}} $
Potresti spiegare come hai dimostrato l'implicazione "Sia..., Allora ... " :?:

Inviato: 04 ago 2006, 11:46
da mates
Effettivamente siete sulla buona strada... solo non capisco bene quel $ \sqrt{RV/M} $ che potrebbe essere una buona approssimazione ma necessita di essere giustificato. Comunque penso che usando la classica formula per la velocità quadratica media o velocità media sarebbe accettato dalla commissione.

Se invece volete trovare l'espressione 'esatta' (intendo nei limiti della teoria cinetica dei gas) potete usare la seguente formula :
$ J = \frac{1}{4}nv_{m}A $
dove J è il flusso di molecole su una superficie di area A (numero di molecole che colpiscono la nostra superficie del foro per unità di tempo), n il numero di molecole per unità di volume, $ v_{m} $ la velocità media (non quadratica media)
La precedente formula torna spesso utile ed è indipendente dalla distribuzione delle velocità molecolari.

Assumendo una distribuzione maxwelliana delle velocità abbiamo $ v_{m} = \sqrt{8RT/\pi M} $.

Adesso dovrebbe essere semplice raggiungere la formula finale

[Hint : trovate il flusso in funzione della pressione interna ed è fatta !]

Inviato: 04 ago 2006, 14:27
da nnsoxke
Mi sembra più chiara la soluzione proposta da tuvok ... la formula che hai usato per determinare J non si capisce come è stata trovata

Inviato: 04 ago 2006, 19:31
da Gauss_87
tuvok ha scritto:sia $ n(t)\, $ il numero di moli di aria presente all'istante $ t\, $. Allora la variazione infinitesima del numero di moli sarà data da $ dn=-\frac{n(t)}{V}Avdt $ ossia $ \frac{dn(t)}{dt}=-\frac{n(t)}{V}Av $
dove $ v\, $ è la velocità quadratica media delle molecole lungo una direzione $ v=\sqrt{\frac{RT}{M}} $
Scusate ma qualcuno potrebbe dimostrare "sia... allora..." altrimenti potremmo assumere la qualsiasi...

Inviato: 04 ago 2006, 20:26
da SkZ
data $ n(t) $ densita' particellare all'istante $ t $, la variazione di particelle $ [n(t)-n(t+\textrm{d}t)]V $ con $ n(t+\textrm{d}t)=n(t)+\textrm{d}n $ e' pari al numero di particelle uscite pari a $ nAv\textrm{d}t $ con $ v\textrm{d}t $ lunghezza percorsa da una particella nell'intervallo di tempo infinitesimo, quindi $ Av\textrm{d}t $ e' pari al volume particelle uscite dal foro di area $ A $.
Fatti i conti viene la formula voluta.

Inviato: 04 ago 2006, 20:55
da SkZ
comunque non serve dimostrarla dato che discende direttamente dall'equazione di continuita'
$ \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\int_V \rho\textrm{d}V+\int_{\partial V}\rho\vec{v}\cdot\textrm{d}\vec{\sigma}=0 $
posto $ \rho=m\,n $ con $ m\, $ massa di una particella che e' ovviamente costante, quindi si puo' eliminare.
Nel caso proposto l'integrazione su $ \partial V $ si riduce all'integrazione sull'area $ A $ del buco


PS: vuoi matematici ce l'avete troppo con le dimostrazioni. dal mio punto di vista ( di $ \approx $astronomo), la risposta al punto a e': ovvio!

Inviato: 05 ago 2006, 09:33
da Gauss_87
SkZ ha scritto:comunque non serve dimostrarla dato che discende direttamente dall'equazione di continuita'
$ \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\int_V \rho\textrm{d}V+\int_{\partial V}\rho\vec{v}\cdot\textrm{d}\vec{\sigma}=0 $
posto $ \rho=m\,n $ con $ m\, $ massa di una particella che e' ovviamente costante, quindi si puo' eliminare.
Nel caso proposto l'integrazione su $ \partial V $ si riduce all'integrazione sull'area $ A $ del buco


PS: vuoi matematici ce l'avete troppo con le dimostrazioni. dal mio punto di vista ( di $ \approx $astronomo), la risposta al punto a e': ovvio!
I don't know Equazione di Continuità, sono solo un Liceale...

Vuoi Matematici...

In ogni caso penso (spero) che in Normale si sarebbero accontentati di una dimostrazione quasi intuitiva del problema utilizzando Bernoulli e Teoria Cinetica dei Gas

:mrgreen:

Inviato: 05 ago 2006, 12:31
da mates
nnsoxke ha scritto:Mi sembra più chiara la soluzione proposta da tuvok ... la formula che hai usato per determinare J non si capisce come è stata trovata
Leggete solo se vi interessa imparare qualcosa di più avanzato (che però torna utile in un numero non numerabile di problemi :) ) :

Quella per J è una formula ben nota della teoria cinetica...............................
comunque è un problema abbastanza classico e per trovare la formula in maniera corretta si fa come ho scritto io o in altri modi equivalenti.
La dimostrazione di J la trovate su internet (e se vi interessa vi posto un link) o su un qualunque testo serio di fisica.

Abbiamo:

$ \displaystyle J = \frac{dN}{dt} = \frac{pA}{\sqrt{2 \pi M R T}} $
dove N è il numero totale di molecole di gas nella navicella. A questo punto siete in grado di concludere da soli.

I vostri risultati sono giusti 'a spanne'. Ripeto, visto che provenite dalle superiori e che il problema parla di 'estimare' l'area del foro, la commissione sicuramente accetterebbe anche le vostre.
I risultati non coincidono perchè dovreste (se non volete usare direttamente la formula per J) usare la velocità media lungo un solo asse e solo in un verso (trovata con la distribuzione di Maxwell 1-dimensionale) ed estimare quante particelle per secondo collidono con con l'area suddetta per unità di tempo. Se fate tutto per bene trovate la formula stessa mia formula. La meccanica statistica sa essere arbitrariamente bastarda :lol:
Comunque non c'è una grande differenza.........
Ciao

mates

Inviato: 06 ago 2006, 23:38
da nnsoxke
Si forse è meglio che posti un link , ho cercato in internet ed ho trovato qualcosa sulla teoria cinetica , tra l'altro ho notato che anche la formula che ha usato tuvok deriva da questa... non so , forse fa parte della teoria più semplificata... Comq io non sono uno studente delle superiori , sforo un bel po' con l'età :P

Inviato: 08 ago 2006, 12:42
da mates
http://www.srcf.ucam.org/~csh33/Files/KineticTheory.pdf

OK, trovate una dimostrazione generale della formula per J (nel testo l'autore chiama J la densità di flusso, cioè la mia J divisa per A). Come potete vedere la dimostrazione è indipendente dalla distribuzione delle velocità molecolari.

Se invece assumi una distribuzione maxwelliana allora è molto più facile (ricordati solo di usare la distribuzione 1-dimensionale) e salta fuori in modo abbastanza 'straightforward'.

Ciao

Inviato: 08 ago 2006, 14:43
da nnsoxke
OK grazie per il link :P