Espansione Libera @ SNS

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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 14 lug 2006, 11:19

Propongo il SNS 2004 - 5 di Termodinamica:

Nel 1997 nella stazione spaziale Mir si produsse un piccolo foro con l'esterno a causa del quale la pressione interna passò dal valore normale $ p_0 $ di $ 750 mmHg $ a $ p_1 $ di $ 675 mmHg $ (millimetri di Mercurio) in un intervallo di tempo $ \Delta t $ di $ 8 $ minuti.

a) Si mostri che durante tale periodo la pressione interna diminuì con legge esponenziale.

b) Si stimi l'area del foro sapendo che il volume pressurizzato della stazione era $ V_0 $ di $ 400 m^3 $ e che la temperatura era $ T_0 $ di $ 24 $ Celsius.

:lol:
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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 18 lug 2006, 18:11

Aiutino banale: un'espansione libera avviene a temperatura costante! :wink:
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tuvok
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Messaggio da tuvok » 19 lug 2006, 17:20

C'è come dato anche la massa molare del gas contenuto nella stazione?
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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 19 lug 2006, 19:48

nn esplicitamente ma credo che si possa utilizzare la famosa massa molare dell'aria $ A=28 $ g/mol
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Tamaladissa
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Messaggio da Tamaladissa » 20 lug 2006, 11:29

Risposta al questito a):

Il gradiente di pressione tra interno e esterno è ragionevole supporlo proporzionale alla differenza di pressione tra interno e esterno ad un generico tempo t, quindi:

dP/dt = k(Pext - Pint(t)) = -kPint(t).
La soluzione dell'eq differenziale è un esponenziale: P(t) = c*e^(-kt) dove k e c sono costanti. Inserendo i dati iniziali, sapendo che dopo 8 minuti (480s) la pressione è passata da 0,98685 atm a 0,88816 atm e ponendo per comodità k=1/T, si ottiene:

P(t) = 0.98685*e^(-t/4555,54)

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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 20 lug 2006, 15:25

Tamaladissa ha scritto:Risposta al questito a):

Il gradiente di pressione tra interno e esterno è ragionevole supporlo proporzionale alla differenza di pressione tra interno e esterno ad un generico tempo t,
Supporre $ \neq $ Dimostrare :?: :!:
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nnsoxke
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Messaggio da nnsoxke » 21 lug 2006, 14:15

Io ho utilizzato l'equazione della conservazione della massa(prendendo come volume di controllo l'interno della navetta), l'eq. di bernoulli(prendendo una linea di flusso che parte dall'interno della navetta(p=pressione interna,v=0) ed arriva all'uscita del foro(p=0), l'eq. di stato dei gas perfetti e posto T=cost... l'utilizzo di bernoulli (in teoria può essere usato solo per fluidi incomprimibili o che si comportano come tali, per flussi stazionari e non viscosi) me lo sono spiegato in questo modo: visto che la densità e la velocità non dovrebbero variare molto rapidamente la loro derivata rispetto al tempo può essere trascurata quindi si può trascurare la non stazionarietà del flusso , l'aria può essere considerata come non viscosa e ,dato che pressione e temperatura si mantengono costanti lungo il foro, possiamo dire che la densità all'uscita del foro è uguale a quella all'interno... subito dopo l'uscita dal foro si ha una rapida caduta di pressione fino a 0 ma la densità ho supposto che nel primo tratto rimanga circa uguale (fluido incomprimibile)... Mi sembra un po' arrangiata questa soluzione, soprattutto nella parte finale ho dei dubbi, voi che ne dite ? Comq facendo i calcoli mi torna che p ha un andamento esponenziale e v (velocità del fluido nel foro) rimane costante nel tempo

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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 21 lug 2006, 20:29

Non penso si debba usare Bernuolli nella dimostrazione... del termine $ \rho g h $ che ne facciamo? in base a dove sta il foro ciascun elemento di aria subisce la pressione di quelli sovrastanti... lasciamo stare Bernoulli!

Prima di proporre il topic io avevo pensato:

considero l'aria un gas perfetto e differenzio $ pV=nRT $ che ha $ V $ costante ad anche $ T $ costante perchè è un'espansione libera:

$ \displaystyle \frac{dp}{dn} = \frac{RT}{V} $ (1)

Ora ogni intervallo di tempo $ dt $ esce un quantità di moli $ dn $ proporzionale alla forza con cui l'aria viene spinta fuori, cioè proporzionale alla pressione residua dato che la sezione del foro è costante; in formule:

$ \displaystyle \frac{dn}{dt} = \lambda \cdot p $ (2)

con $ \displaystyle \lambda \in \mathbb{R}^- $ una costante.

Mettendo insieme (1) e (2):

$ \displaystyle \int_{p_0}^{p} \frac{dp}{p} = \int_{0}^{t} \lambda \cdot \frac{RT}{V} \cdot dt $

da cui

$ \displaystyle p(t) = p_0 \cdot e^{\frac{\lambda R T}{V} \cdot t} $.

Per il punto (b), imponendo $ p(0) = p_{atm} $, $ p(\Delta t) = p_1 $, volume e temperatura del testo si ricava $ \lambda $

--------------------
Edit: senza \displaystyle le formule sono impasticciatissime :!:
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Messaggio da nnsoxke » 21 lug 2006, 21:33

Il termine pgh non ci sta siamo nello spazio :P...e anche se ci fosse per i fluidi a bassa densità come l'aria la variazione di quota è trascurabile... Praticamente la relazione che hai usato dn/dt = -L*p è quello che si ottiene dall'equazione di continuità sotituendo l'equazione di stato, solo che al posto della costante L compare anche la velocità che potrebbe non esser costante nel tempo ... Questo è quello che ottengo dalla continuità o conservazione della massa : r*v*A+dr/dt*V =0 (r = densità v= velocità del fluido nel foro)... r e n sono proporzionali

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Messaggio da Gauss_87 » 22 lug 2006, 11:22

Perfetto nnsoxkè :!:
Abbiamo pensato la stessa cosa nella pratica, solo che te l'hai meglio giustificata :!:

Cmq pensi che in Normale si sarebbero accontentati di una risoluzione simile alla mia?

Adesso proviamo a fare il punto (b) :roll:
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Messaggio da nnsoxke » 22 lug 2006, 21:44

Una volta ricavato l'andamento della pressione nel tempo si impone il passaggio dell'esponenziale anche per il punto ( 8 min , p finale ) e si ricava l'area... Questo è l'andamento che ho trovato : p = p0 e^(-a t) ; a = rad(2RT /m)* A / V ; m = massa molare dell'aria

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tuvok
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Messaggio da tuvok » 23 lug 2006, 09:31

Io ho ragionato così: sia $ n(t)\, $ il numero di moli di aria presente all'istante $ t\, $. Allora la variazione infinitesima del numero di moli sarà data da $ dn=-\frac{n(t)}{V}Avdt $ ossia $ \frac{dn(t)}{dt}=-\frac{n(t)}{V}Av $
dove $ v\, $ è la velocità quadratica media delle molecole lungo una direzione $ v=\sqrt{\frac{RT}{M}} $
Dall'equazione differenziale si ricava la legge $ n(t)=n_0e^{-\frac{Av}{V}t} $
La legge della pressione si ricava dall'equazione dei gas perfetti $ p(t)=\frac{n(t)RT}{V}=p_0e^{-\frac{Av}{V}t} $
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Messaggio da nnsoxke » 23 lug 2006, 10:16

La velocità (a me viene anche un 2 sotto radice) come l'hai ricavata ? Con l'equazione di bernoulli ?

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tuvok
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Messaggio da tuvok » 23 lug 2006, 18:39

Non so se è giusto, ma io ho considerato la velocità $ v\, $ come la velocità quadratica media di agitazione delle molecole di azoto. Poichè approssimativamente, per un piccolo tratto, il flusso in uscita è perpendicolare al foro, allora ho considerato solo una componente di tale velocità, quindi ho scritto $ v=\sqrt{\frac{RT}{M}} $ al posto che $ v=\sqrt{\frac{3RT}{M}} $, che è la velocità di agitazione termica con tutte le 3 componenti xyz.
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Messaggio da nnsoxke » 23 lug 2006, 21:13

Si dovrebbe essere giusto , mi sa che si risolve così :P

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