Non tanto facile...
Non sono sicuro che la cosa possa essere liquidata così facilmente. La sfera rotola e la sua traiettoria nel piano è piuttosto complessa, come puoi dire che il moto attorno all'asse verticale si conserva come all'inizio?
BMcKMas
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
E' vero che la traiettoria è complessa, ma è pur sempre una curva piana. Dunque anche l'accelerazione (assoluta) giace sempre su un piano. Ma l'accelerazione è dovuta ad una forza, e precisamente quella che la piattaforma trasmette alla palla attraverso il punto di contatto. Allora questa forza è anche lei giacente su un piano, e poiché sta esattamente sulla verticale del centro di massa il momento che essa produce è esattamente orizzontale. Dunque la componente verticale del momento angolare non ha derivate, per cui si conserva. Solo un momento verticale potrebbe modificarla, ad esempio se il contatto avvenisse non tramite un singolo punto, ma mediante un'area di contatto (anche piccola) attraverso la quale le forze d'attrito potessero sviluppare un momento risultante diverso da zero, cosa che nel presente caso non avviene (dovrebbero essere forze infinite visto che l'area di contatto è un singolo punto senza dimensione).
A me pare abbastanza convincente.
A me pare abbastanza convincente.
Scusa Flavio5x, anche per quel poco che ti conosco forse non serve, ma premetto che non ho una risposta e non sto polemizzando solo cercando di comprendere.
A me la spiegazione non sembra tanto convincente. Il traiettoria del CM è piana ma il moto che stiamo prevedendo è quello di un corpo rigido tridimensionale. La condizione di rotolamento si manifesta nel punto di contatto che cambia nel tempo e non credo si possa dire che il luogo descritto dal punto di contatto sulla sfera sia piano (nemmno rispetto alla sfera). Sono d'accordo che il momento attorno all'asse normale al piano di contatto rispetto al punto di contatto è istnte per istante nullo, tuttavia l'asse di iniziale rotazione non si conserva.
Supponiamo di avere una sfera che gira su un piano orizzontale come una trottola (attorno all'asse verticale) se inclino leggermente il piano la sfera comincia a rotolare ma il suo moto non mi sembra facile da prevedere e sicuramente non è indipendente dallo spin iniziale. Non è che qualcosa del genere vale anche nel problema che stiamo esaminando?
cosa ne pensi?
A me la spiegazione non sembra tanto convincente. Il traiettoria del CM è piana ma il moto che stiamo prevedendo è quello di un corpo rigido tridimensionale. La condizione di rotolamento si manifesta nel punto di contatto che cambia nel tempo e non credo si possa dire che il luogo descritto dal punto di contatto sulla sfera sia piano (nemmno rispetto alla sfera). Sono d'accordo che il momento attorno all'asse normale al piano di contatto rispetto al punto di contatto è istnte per istante nullo, tuttavia l'asse di iniziale rotazione non si conserva.
Supponiamo di avere una sfera che gira su un piano orizzontale come una trottola (attorno all'asse verticale) se inclino leggermente il piano la sfera comincia a rotolare ma il suo moto non mi sembra facile da prevedere e sicuramente non è indipendente dallo spin iniziale. Non è che qualcosa del genere vale anche nel problema che stiamo esaminando?
cosa ne pensi?
BMcKMas
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
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Figurati se non capisco i tuoi dubbi! Conoscendo la tua intuizione fisica direi che sono più che legittimi, e assolutamente condivisibili! Anch'io cerco di arrabattarmi tra forti dubbi e fragili certezze!
Facciamo un po' d'ordine, dimmi se ho capito bene.
Il problema del momento angolare e della rotazione della sfera di cui stiamo discutendo partono, credo, da quanto ho espresso nel Passo 1 del post in cui descrivevo il procedimento (i passi successivi sono pure conseguenze matematiche). Insomma la relazione che provoca dubbi è la $ \mathbf{a'}=-\frac{mr_s^2}{I}\mathbf{a} $, per come è stata ricavata giusto?
Potrei ulteriormente descrivere il procedimento fino nei suoi dettagli più minuziosi a colpi di prodotti vettoriali (l'ho fatto), da cui la relazione che ho riportato discende puntualmente. Ma non credo che servirebbe, perchè tu, come me, hai una forte esigenza di "vedere" cosa succede.
No so se può servire, ma ti propongo il seguente esperimento.
Supponi di avere una palla bianca, sulla quale hai dipinto di nero il polo nord e di rosso il polo sud. Appoggi la palla sopra un foglio di carta che sta sopra un tavolo. Il punto di contatto tra la palla e il foglio di carta sia sul polo sud (rosso). Imprimi alla palla un moto rotatorio antiorario (guardando dall'alto). La palla ruota senza attrito ed è sempre ferma. A questo punto dai al foglio di carta uno strattone da sinistra a destra e poi lo fermi. E' logico pensare che la palla, dopo questo strattone cominci a muoversi verso destra rotolando. Adesso imprimi un altro strattone uguale ed opposto al precedente, da destra verso sinistra, facendo in modo che la palla si fermi esattamente con il polo nord sul punto di contatto. I due poli si sono scambiati di posto. Come pensi che stia ruotando adesso la palla? io penso che guardandola dall'alto la rotazione attorno all'asse verticale non sia affatto cambiata, e sia ancora antioraria, altrimenti avremmo modificato il momento angolare verticale senza aver applicato alcun momento in tale direzione (comunque i due strattoni uguali ed opposti fanno sì che qualunque altro momento angolare resti invariato prima e dopo l'esperimento). Eppure rispetto alla palla il verso di rotazione è esattamente opposto! Come dire che rispetto a se stessa la palla ha invertito il momento angolare! In realtà il punto di vista della palla non ci deve interessare, quello che interessa è il punto di vista del riferimento inerziale scelto in partenza. Come dire che finché la palla si muove da sinistra a destra, al suo interno l'asse di rotazione ruota anch'esso rispetto alla palla stessa, ma nel sistema assoluto rimane sempre parallelo a se stesso in modo da restare sempre verticale, allineato con il punto di contatto. Che ne pensi?
Facciamo un po' d'ordine, dimmi se ho capito bene.
Il problema del momento angolare e della rotazione della sfera di cui stiamo discutendo partono, credo, da quanto ho espresso nel Passo 1 del post in cui descrivevo il procedimento (i passi successivi sono pure conseguenze matematiche). Insomma la relazione che provoca dubbi è la $ \mathbf{a'}=-\frac{mr_s^2}{I}\mathbf{a} $, per come è stata ricavata giusto?
Potrei ulteriormente descrivere il procedimento fino nei suoi dettagli più minuziosi a colpi di prodotti vettoriali (l'ho fatto), da cui la relazione che ho riportato discende puntualmente. Ma non credo che servirebbe, perchè tu, come me, hai una forte esigenza di "vedere" cosa succede.
No so se può servire, ma ti propongo il seguente esperimento.
Supponi di avere una palla bianca, sulla quale hai dipinto di nero il polo nord e di rosso il polo sud. Appoggi la palla sopra un foglio di carta che sta sopra un tavolo. Il punto di contatto tra la palla e il foglio di carta sia sul polo sud (rosso). Imprimi alla palla un moto rotatorio antiorario (guardando dall'alto). La palla ruota senza attrito ed è sempre ferma. A questo punto dai al foglio di carta uno strattone da sinistra a destra e poi lo fermi. E' logico pensare che la palla, dopo questo strattone cominci a muoversi verso destra rotolando. Adesso imprimi un altro strattone uguale ed opposto al precedente, da destra verso sinistra, facendo in modo che la palla si fermi esattamente con il polo nord sul punto di contatto. I due poli si sono scambiati di posto. Come pensi che stia ruotando adesso la palla? io penso che guardandola dall'alto la rotazione attorno all'asse verticale non sia affatto cambiata, e sia ancora antioraria, altrimenti avremmo modificato il momento angolare verticale senza aver applicato alcun momento in tale direzione (comunque i due strattoni uguali ed opposti fanno sì che qualunque altro momento angolare resti invariato prima e dopo l'esperimento). Eppure rispetto alla palla il verso di rotazione è esattamente opposto! Come dire che rispetto a se stessa la palla ha invertito il momento angolare! In realtà il punto di vista della palla non ci deve interessare, quello che interessa è il punto di vista del riferimento inerziale scelto in partenza. Come dire che finché la palla si muove da sinistra a destra, al suo interno l'asse di rotazione ruota anch'esso rispetto alla palla stessa, ma nel sistema assoluto rimane sempre parallelo a se stesso in modo da restare sempre verticale, allineato con il punto di contatto. Che ne pensi?
Si la relazione incriminata, che peraltro è la stessa che ho usato anch'io nella soluzione, è proprio quella. Ora, se il sistema avesse un solo grado di libertà la relazione sarebbe OK, ma nella sfera in condizioni ideali di rotolamento su un piano ci vedo 2 gradi di libertà.
Il tuo ultimo esempio è un po' complesso da 'vedere' fisicamente (non ho molta esperienza fenomenologica con oggetti simili, e anche la matematica che ci sta sotto è un po' ostica). Quello che mi sembra di poter dire è che, in conseguenza del primo strattone, il rotolamento che si manifesta farà insorgere forze che modificano la posizione del CM e farà rotolare la sfera. Ci sarà un travaso in termini energetici tra energia cinetica traslazionale e rotazionale. Non so se con un altro strattone ben calibrato si riesca a riportare tutto nelle condizioni di ribaltamento e CM fermo. Anche se presumo che ciò sia possibile, non sono in grado di prevedere quale strattone esercitare e quando.
Insomma, il mio dubbio consiste nel fatto che il rotolamento di una sfera (che non esclude lo spin attorno alla normale) è un vincolo piuttosto diverso dal rotolamento bidimensionale di un cilindro e non sono sicuro che si possano usare le stesse relazioni cinematiche.
ciao
Il tuo ultimo esempio è un po' complesso da 'vedere' fisicamente (non ho molta esperienza fenomenologica con oggetti simili, e anche la matematica che ci sta sotto è un po' ostica). Quello che mi sembra di poter dire è che, in conseguenza del primo strattone, il rotolamento che si manifesta farà insorgere forze che modificano la posizione del CM e farà rotolare la sfera. Ci sarà un travaso in termini energetici tra energia cinetica traslazionale e rotazionale. Non so se con un altro strattone ben calibrato si riesca a riportare tutto nelle condizioni di ribaltamento e CM fermo. Anche se presumo che ciò sia possibile, non sono in grado di prevedere quale strattone esercitare e quando.
Insomma, il mio dubbio consiste nel fatto che il rotolamento di una sfera (che non esclude lo spin attorno alla normale) è un vincolo piuttosto diverso dal rotolamento bidimensionale di un cilindro e non sono sicuro che si possano usare le stesse relazioni cinematiche.
ciao
BMcKMas
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
Mi scuso per la definizione (arrabattata, è vero) di energia in senso radiale. Il fatto che volevo intendere è che la v può essere cambiata solo dalla F centrifuga che è l'unica a fare lavoro, e allora ho spostato il discorso sull'energia. E' lo stesso integrale di Flavio, in fondo, ma l'ho detto in modo più rozzo: in pratica $ a \cdot dl = a dl cos\gamma = a_{centr} dl cos\alpha + a_{coriolis} dl cos\beta = a_{centr} dr $. Ovviamente bisogna tener conto sia della traslazione sia della rotazione della sfera e l'ho fatto, infatti torna lo stesso valore.
A mio giudizio il dubbio portato avanti da Bmckmas è legittimo, e infatti mi aveva spinto a quella strana domanda nel precedente post. In pratica, senza stare a dire perchè, la piattaforma imprime al c.d.m. della sfera una velocità tangenziale di $ \omega R \over 7 $ nel senso della rotazione. Questo complica molto le cose... In pratica la sfera deve uniformarsi al moto sempre più veloce della superficie, ma per farlo c'è anche una accelerazione del centro di massa.
Per capire come mai pensiamo a questa situazione:
una sfera è ferma su un nastro trasportatore. Il nastro all'improvviso parte con velocità $ v $. Se il coeff. d'attrito tende all'infinito, quando vale la vel. del c.d.m. della sfera rispetto al terreno dopo l'avvio del nastro?
Basta dividere il disco in tante striscioline concentriche ognuna con velocità $ \omega R $ e si ottiene quanto ho detto.
Ciao! (sono in partenza...)
A mio giudizio il dubbio portato avanti da Bmckmas è legittimo, e infatti mi aveva spinto a quella strana domanda nel precedente post. In pratica, senza stare a dire perchè, la piattaforma imprime al c.d.m. della sfera una velocità tangenziale di $ \omega R \over 7 $ nel senso della rotazione. Questo complica molto le cose... In pratica la sfera deve uniformarsi al moto sempre più veloce della superficie, ma per farlo c'è anche una accelerazione del centro di massa.
Per capire come mai pensiamo a questa situazione:
una sfera è ferma su un nastro trasportatore. Il nastro all'improvviso parte con velocità $ v $. Se il coeff. d'attrito tende all'infinito, quando vale la vel. del c.d.m. della sfera rispetto al terreno dopo l'avvio del nastro?
Basta dividere il disco in tante striscioline concentriche ognuna con velocità $ \omega R $ e si ottiene quanto ho detto.
Ciao! (sono in partenza...)
Direi di più, il problema non è nell'atto di moto incipiente, quando la sfera è ferma, perchè all'inzio accelerazione e velocità sono concordi. Il problema è quando la sfera arriva sul nastro già con un suo moto ......
BMcKMas
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
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Sparo le ultime cartucce, e poi mi arrendo perché di più non so fare.
Dimostrazione della formula:
$ \mathbf{a'}=-\mathbf{a}\frac{mr_s^2}{I} $
1) Se la sfera di massa m è soggetta ad un moto accelerato con accelerazione assoluta a e se l'unico punto di contatto con il mondo esterno è il punto di tangenza con il piano, allora significa che tale punto di tangenza imprime alla sfera una forza F, dove:
$ \mathbf{F}=m\mathbf{a} $.
2)Detto $ r_s $ il raggio della sfera, consideriamo un punto fisso avente altezza $ r_s $ dal piano e situato sull'asse di rotazione della pedana, assumiamolo come origine delle coordinate e partendo da questo punto calcoliamo tutti i momenti. Il momento angolare totale della sfera è uguale al momento rispetto al suo centro di massa più il momento di traslazione del centro di massa, cioè$ \mathbf{L_t}=\mathbf{L_s}+\mathbf{r_{cm}}\times m\mathbf{v} $. Anche il momento della forza F può essere scomposto in due parti. Infatti detto $ \mathbf{r_s} $ il vettore verticale avente origine nel centro di massa della sfera e la punta sul punto di contatto con la piattaforma, il momento della forza F rispetto al punto preso a riferimento può essere scritto: $ \mathbf{r_c}\times \mathbf{F}=\mathbf{r_{cm}}\times\mathbf{F}+\mathbf{r_s}\times\mathbf{F} $, dove $ \mathbf{r_c} $ è il vettore posizione del punto di contatto (o di applicazione di F). Questo momento è la derivata del momento angolare nel tempo. Svolgendo i calcoli si scopre che sparisce il termine inerente la traslazione e rimane solo $ \frac{d\mathbf{L_s}}{dt}=\mathbf{r_s}\times m\mathbf{a} $. Ora si sa che $ L_s=I\mathbf{\omega} $. Questa affermazione discende dal fatto che, nel caso della sfera, l'ellissoide centrale d'inerzia è anch'esso una sfera, e quindi il momento angolare non solo è invariante per qualsiasi retta di rotazione, ma anche è parallelo al vettore velocità angolare. Allora vale la relazione:
$ \mathbf{r_s}\times m\mathbf{a}=I\frac{d\mathbf{\omega}}{dt}=I\mathbf{\alpha} $
(da cui si deduce anche che $ \mathbf{\alpha} $ giace sul piano, anche se non necessaramente vi giace $ \mathbf{\omega} $. Comunque si può definire un vettore $ \mathbf{\omega_p} $ componente sul piano della piattaforma del vettore $ \mathbf{\omega} $, tale che $ \mathbf{\alpha}=\frac{d\mathbf{\omega_p}}{dt} $)
3)La condizione di rotolamento sulla piattaforma si esprime: $ \mathbf{v'}=-\mathbf{\omega_p}\times\mathbf{r_s} $, da cui derivando si ha:
$ \mathbf{a'}=-\mathbf{\alpha}\times\mathbf{r_s} $.
4)Mettendo assieme il risultato della 3) con quello della 2) si ha:
$ \frac{1}{I}(\mathbf{r_s}\times m\mathbf{a})\times\mathbf{r_s}=-\mathbf{a'} $, da cui:
$ \mathbf{a'}=-\mathbf{a}\frac{mr_s^2}{I} $.
A questo punto credo di aver dato fondo a tutte le mie risorse, se ho fatto errori non so dove li ho fatti e prego chiunque li individuasse di indicarmeli.
Ciao
Dimostrazione della formula:
$ \mathbf{a'}=-\mathbf{a}\frac{mr_s^2}{I} $
1) Se la sfera di massa m è soggetta ad un moto accelerato con accelerazione assoluta a e se l'unico punto di contatto con il mondo esterno è il punto di tangenza con il piano, allora significa che tale punto di tangenza imprime alla sfera una forza F, dove:
$ \mathbf{F}=m\mathbf{a} $.
2)Detto $ r_s $ il raggio della sfera, consideriamo un punto fisso avente altezza $ r_s $ dal piano e situato sull'asse di rotazione della pedana, assumiamolo come origine delle coordinate e partendo da questo punto calcoliamo tutti i momenti. Il momento angolare totale della sfera è uguale al momento rispetto al suo centro di massa più il momento di traslazione del centro di massa, cioè$ \mathbf{L_t}=\mathbf{L_s}+\mathbf{r_{cm}}\times m\mathbf{v} $. Anche il momento della forza F può essere scomposto in due parti. Infatti detto $ \mathbf{r_s} $ il vettore verticale avente origine nel centro di massa della sfera e la punta sul punto di contatto con la piattaforma, il momento della forza F rispetto al punto preso a riferimento può essere scritto: $ \mathbf{r_c}\times \mathbf{F}=\mathbf{r_{cm}}\times\mathbf{F}+\mathbf{r_s}\times\mathbf{F} $, dove $ \mathbf{r_c} $ è il vettore posizione del punto di contatto (o di applicazione di F). Questo momento è la derivata del momento angolare nel tempo. Svolgendo i calcoli si scopre che sparisce il termine inerente la traslazione e rimane solo $ \frac{d\mathbf{L_s}}{dt}=\mathbf{r_s}\times m\mathbf{a} $. Ora si sa che $ L_s=I\mathbf{\omega} $. Questa affermazione discende dal fatto che, nel caso della sfera, l'ellissoide centrale d'inerzia è anch'esso una sfera, e quindi il momento angolare non solo è invariante per qualsiasi retta di rotazione, ma anche è parallelo al vettore velocità angolare. Allora vale la relazione:
$ \mathbf{r_s}\times m\mathbf{a}=I\frac{d\mathbf{\omega}}{dt}=I\mathbf{\alpha} $
(da cui si deduce anche che $ \mathbf{\alpha} $ giace sul piano, anche se non necessaramente vi giace $ \mathbf{\omega} $. Comunque si può definire un vettore $ \mathbf{\omega_p} $ componente sul piano della piattaforma del vettore $ \mathbf{\omega} $, tale che $ \mathbf{\alpha}=\frac{d\mathbf{\omega_p}}{dt} $)
3)La condizione di rotolamento sulla piattaforma si esprime: $ \mathbf{v'}=-\mathbf{\omega_p}\times\mathbf{r_s} $, da cui derivando si ha:
$ \mathbf{a'}=-\mathbf{\alpha}\times\mathbf{r_s} $.
4)Mettendo assieme il risultato della 3) con quello della 2) si ha:
$ \frac{1}{I}(\mathbf{r_s}\times m\mathbf{a})\times\mathbf{r_s}=-\mathbf{a'} $, da cui:
$ \mathbf{a'}=-\mathbf{a}\frac{mr_s^2}{I} $.
A questo punto credo di aver dato fondo a tutte le mie risorse, se ho fatto errori non so dove li ho fatti e prego chiunque li individuasse di indicarmeli.
Ciao