Facile Facile ...
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Due condensatori di capacità C1 e C2 con C2 > C1 sono inizialmente carichi con la stessa carica Q1 = Q2 = Q. Sono quindi connessi collegando tra loro con due fili conduttori le armature aventi la stessa polarità. Si determini lo stato finale dei condensatori e si discuta il relativo bilancio energetico.
Fonte "Test d'Ammissione Normale 2004-5"
Fonte "Test d'Ammissione Normale 2004-5"
Inizialmente i due Condensatori hanno potenziale:
$ V_1 = \frac{Q}{C_1} $ e $ V_2 = \frac{Q}{C_2} $.
Connettere collegando tra loro con due fili conduttori le armature aventi la stessa polarità significa mettere i due condensatori in PARALLELO:
$ C_f = C_1 + C_2 $.
Per il PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA CARICA:
$ Q_f = 2Q $,
da cui si ricava il nuovo potenziale elettrostatico del sistema dei due condensatori:
$ V_f = \frac{2Q}{C_f} = \frac{2Q}{C_1 + C_2} $.
Bilancio Energetico:
Energia Elettrostatica Iniziale:
$ \displaystyle E_i = \frac{1}{2}QV_1 + \frac{1}{2}QV_2 = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_1} + \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_2} = \frac{1}{2}Q^2\frac{C_1 + C_2}{C_1C_2} $. (1)
Energia Elettrostatica Finale:
$ \displaystyle E_f = \frac{1}{2}\frac{4Q^2}{C_1 + C_2} $. (2)
Bilancio energetico, (2) - (1):
$ \displaystyle \Delta E = \frac{1}{2}\frac{4Q^2}{C_1 + C_2} - \frac{1}{2}Q^2\frac{C_1 + C_2}{C_1C_2} $...
Errori a parte, il resto dei conti mi annoiano...
$ V_1 = \frac{Q}{C_1} $ e $ V_2 = \frac{Q}{C_2} $.
Connettere collegando tra loro con due fili conduttori le armature aventi la stessa polarità significa mettere i due condensatori in PARALLELO:
$ C_f = C_1 + C_2 $.
Per il PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA CARICA:
$ Q_f = 2Q $,
da cui si ricava il nuovo potenziale elettrostatico del sistema dei due condensatori:
$ V_f = \frac{2Q}{C_f} = \frac{2Q}{C_1 + C_2} $.
Bilancio Energetico:
Energia Elettrostatica Iniziale:
$ \displaystyle E_i = \frac{1}{2}QV_1 + \frac{1}{2}QV_2 = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_1} + \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_2} = \frac{1}{2}Q^2\frac{C_1 + C_2}{C_1C_2} $. (1)
Energia Elettrostatica Finale:
$ \displaystyle E_f = \frac{1}{2}\frac{4Q^2}{C_1 + C_2} $. (2)
Bilancio energetico, (2) - (1):
$ \displaystyle \Delta E = \frac{1}{2}\frac{4Q^2}{C_1 + C_2} - \frac{1}{2}Q^2\frac{C_1 + C_2}{C_1C_2} $...
Errori a parte, il resto dei conti mi annoiano...
Ultima modifica di Gauss_87 il 03 lug 2006, 10:05, modificato 1 volta in totale.
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
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- Messaggi: 213
- Iscritto il: 28 nov 2005, 17:17
Si può anche mostrare che $ E_f<E_i $, ossia che $ \frac{E_f}{E_i}<1 $:
$ \frac{E_f}{E_i}=\frac{4C_1C_2}{(C_1+C_2)^2} $
Ma $ 4C_1C_2<(C_1+C_2)^2 $ in quanto $ -(C_1-C_2)^2<0 $ se $ C_1 \not= C_2 $
Ciò si può fisicamente interpretare con il fatto che un po' di energia viene dissipata dalla resistenza del cavo di colegamento.
$ \frac{E_f}{E_i}=\frac{4C_1C_2}{(C_1+C_2)^2} $
Ma $ 4C_1C_2<(C_1+C_2)^2 $ in quanto $ -(C_1-C_2)^2<0 $ se $ C_1 \not= C_2 $
Ciò si può fisicamente interpretare con il fatto che un po' di energia viene dissipata dalla resistenza del cavo di colegamento.
Lunga vita e prosperità
Scusami, perchè in SERIE?evans ha scritto:Non lo so ma il fatto che tu consideri solo la carica Q iniziale mi lascia molto perplesso. La caratteristica dei condensatori in serie è che rimanga invariata la ddp
quindi $ Q1=V*C1 $ $ Q2=V*C2 $
Con $ V $ ddp di equilibrio
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Si, anche a me viene un bilancio energetico negativo che significa che si spende energia per effettuare il collegamentotuvok ha scritto:Si può anche mostrare che $ E_f<E_i $, ossia che $ \frac{E_f}{E_i}<1 $:
$ \frac{E_f}{E_i}=\frac{4C_1C_2}{(C_1+C_2)^2} $
Ma $ 4C_1C_2<(C_1+C_2)^2 $ in quanto $ -(C_1-C_2)^2<0 $ se $ C_1 \not= C_2 $
Ciò si può fisicamente interpretare con il fatto che un po' di energia viene dissipata dalla resistenza del cavo di colegamento.
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
manca qualcosa
la soluzione qui proposta è corretta, ma nella richiesta "discutere il bilancio energetico" c'era probabilmente sottintesa la richiesta di dire CHE FINE FACCIA l'energia che manca.
L'interpretazione "si è dissipata sulla resistenza del filo" non regge, perché siamo in una situazione ideale in cui le resistenze sono volutamente trascurate.
Per semplificare la questione, possiamo considerare due condensatori IDENTICI, di cui uno è all'inizio carico con carica Q ed uno è scarico.
Dopo la chiusura dell'interruttore che forma il parallelo, nel condensatore equivalente di capacità 2C risulta immagazzinata un'energia che è esattamente la metà di quella che si trovava nel condensatore carico; come si può verificare con pochi facili passaggi.
Questo senza che ci siano resistenze da nessuna parte. Dunque: dove va a finire l'altra metà?
L'interpretazione "si è dissipata sulla resistenza del filo" non regge, perché siamo in una situazione ideale in cui le resistenze sono volutamente trascurate.
Per semplificare la questione, possiamo considerare due condensatori IDENTICI, di cui uno è all'inizio carico con carica Q ed uno è scarico.
Dopo la chiusura dell'interruttore che forma il parallelo, nel condensatore equivalente di capacità 2C risulta immagazzinata un'energia che è esattamente la metà di quella che si trovava nel condensatore carico; come si può verificare con pochi facili passaggi.
Questo senza che ci siano resistenze da nessuna parte. Dunque: dove va a finire l'altra metà?
che l'energia diminuisca questo e' abbastanza ovvio, dato che un sistema tende ad andare spontaneamente verso stati a energia minore. Non essendosi forze em esterne, le cariche si ridispongono in un livello energetico inferiore.
A occhio direi che, dato che si instaura una corrente ($ ~e^- $ dall'armatura negativa di $ ~C_1 $ a quella di $ ~C_2 $ e dall'armatura positiva di $ ~C_2 $ a quella di $ ~C_1 $), l'energia mancante e' andata nel campo EM prodotto.
A occhio direi che, dato che si instaura una corrente ($ ~e^- $ dall'armatura negativa di $ ~C_1 $ a quella di $ ~C_2 $ e dall'armatura positiva di $ ~C_2 $ a quella di $ ~C_1 $), l'energia mancante e' andata nel campo EM prodotto.
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