Quanto vale $ h $?
Occhio: tutto incognito tranne il raggio
Ciao
Giochi di moda
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Colpisco orizzontalmente una palla da biliardo di raggio $ R $ con una stecca, ad altezza $ h $ rispetto al suo centro. La superficie del tavolo fa attrito, e così la palla accelera (in pratica gli do una specie di "effetto" in avanti) fino ai $ 9\over 7 $ della velocità iniziale.
Quanto vale $ h $?
Occhio: tutto incognito tranne il raggio
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Quanto vale $ h $?
Occhio: tutto incognito tranne il raggio
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Posta il procedimento...Obbedisco.
La stecca comunica alla palla un impulso iniziale $ P_0 $ che determina la velocità iniziale della stessa secondo la relazione $ P_0=mv_0 $. Successivamente la quantità di moto della palla varia a causa dello strisciamento sul piano. Ma poiché sappiamo che la velocità al termine di questo strisciamento sarà maggiore della velocità iniziale, possiamo anche dedurre che la forza sulla palla causata dall'attrito del piano avrà verso concorde con il suo moto (cioè diretta in avanti). Chiamiamo $ P_1 $ l'impulso complessivo causato da questo strisciamento: $ P_1=\int_{0}^{T} F(t)dt $ dove F è la forza d'attrito. Alla fine dello strisciamento la palla avrà velocità finale data dalla seguente relazione: $ mv_f=P_0+P_1 $. Considerando poi il momento angolare rispetto al centro della palla, l'impulso $ P_0 $ dà in contibuto $ P_0h $ (considerando positiva la rotazione che porta al rotolamento della palla), mentre l'impulso $ P_1 $ dà un contributo pari a $ -P_1R $, poichè si oppone al rotolamento. Pertanto alla fine dello strisciamento si avrà il momento angolare risultante $ I\omega=P_0h-P_1R $. Poi occorre imporre che alla fine dello strisciamento la palla deve raggiungere una condizione di rotolamento perfetto, che porta alla relazione $ v_f=\omega R $. Imponendo adesso la relazione tra le velocità, cioè $ v_f=\frac{9}{7}v_0 $ e facendo le opportune sostituzioni, spariscono tutti i parametri ad eccezione delle due variabili R e h, che messe in relazione tra loro danno il risultato $ h=\frac{4}{5}R $
Ciao
La stecca comunica alla palla un impulso iniziale $ P_0 $ che determina la velocità iniziale della stessa secondo la relazione $ P_0=mv_0 $. Successivamente la quantità di moto della palla varia a causa dello strisciamento sul piano. Ma poiché sappiamo che la velocità al termine di questo strisciamento sarà maggiore della velocità iniziale, possiamo anche dedurre che la forza sulla palla causata dall'attrito del piano avrà verso concorde con il suo moto (cioè diretta in avanti). Chiamiamo $ P_1 $ l'impulso complessivo causato da questo strisciamento: $ P_1=\int_{0}^{T} F(t)dt $ dove F è la forza d'attrito. Alla fine dello strisciamento la palla avrà velocità finale data dalla seguente relazione: $ mv_f=P_0+P_1 $. Considerando poi il momento angolare rispetto al centro della palla, l'impulso $ P_0 $ dà in contibuto $ P_0h $ (considerando positiva la rotazione che porta al rotolamento della palla), mentre l'impulso $ P_1 $ dà un contributo pari a $ -P_1R $, poichè si oppone al rotolamento. Pertanto alla fine dello strisciamento si avrà il momento angolare risultante $ I\omega=P_0h-P_1R $. Poi occorre imporre che alla fine dello strisciamento la palla deve raggiungere una condizione di rotolamento perfetto, che porta alla relazione $ v_f=\omega R $. Imponendo adesso la relazione tra le velocità, cioè $ v_f=\frac{9}{7}v_0 $ e facendo le opportune sostituzioni, spariscono tutti i parametri ad eccezione delle due variabili R e h, che messe in relazione tra loro danno il risultato $ h=\frac{4}{5}R $
Ciao