Transiente nei circuiti LC ed RLC in corrente continua

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Samu
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Transiente nei circuiti LC ed RLC in corrente continua

Messaggio da Samu » 15 giu 2006, 17:30

L'obiettivo è descrivere come varia la corrente elettrica nei circuiti LC ed RLC in corrente alternata.
All'inizio avevo applicato il procedimento che si utilizza per i circuiti in corrente continua RC ed RL, ossia quello di un'equazione differenziale in variabili separabili. Poi mi è stato fatto notare che il meccanismo è molto più complicato e che, in mancaza di una resistenza (ossia nel circuito LC), l'andamento della corrente può andare avanti all'infinito assumendo un andamento sinusoidale.
Potreste chiarirmi questo punto? (magari anche senza formule, a quelle ci penserei io)

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Bacco
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Messaggio da Bacco » 15 giu 2006, 18:04

Con la corrente alternata è tutto molto più complicato, si può scrivere una eq.diff. che poi è difficile e laboriosa da risolvere. Sintetizzando: la corrente risulta sinusoidale sia nel circuito LC che in quello RLC. La sua ampiezza è $ V_{max} / Z $ dove $ Z $ è l'impedenza e vale $ Z^2=R^2+(X_L-X_C)^2 $ dove le $ X $ sono le reattanze induttiva e capacitiva. Per trovare l'angolo di fase si ricorre ai fasori. In breve $ tg \theta = \frac{X_L-X_C}{R} $.

So che detto così è tutto un po' fumoso, magari ti consiglio un buon testo di fisica.

Ciao

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Samu
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Transiente nei circuiti LC ed RLC in corrente continua

Messaggio da Samu » 15 giu 2006, 18:08

Aspetta, aspetta. La mia domanda era riferita ai circuiti in corrente continua. Nei circuiti a corrente alternata in effetti è tutto diverso e più complicato.

Io credevo di essere rimasto più terra-terra. :|

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Bacco
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Messaggio da Bacco » 15 giu 2006, 19:45

Intendi dire dunque un LC in corrente continua, se ho ben capito.

Per Kirchoff 2 ottieni $ V-Lq''-\frac{q}{C}=0 $.

E' facile intuire che questa eq.diff. ha come soluzione qualcosa della forma $ Asen(\omega t + \phi) + \lambda $. Ora resta solo da trovare i coefficienti... Per la corrente bisogna derivare ovviamente.

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Bacco
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Messaggio da Bacco » 15 giu 2006, 19:48

Per l'RLC compare anche $ -Rq' $, la soluzione diventa più complessa, perchè entra in campo uno smorzamento.

Ciao

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Flavio5x
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Messaggio da Flavio5x » 15 giu 2006, 23:31

Caro Samu, essendo io un vecchio elettronico un piccolo contributo non posso fare a meno di dartelo.
Non tiro fuori neanche una formula, perchè voglio solo fermarmi ai concetti di massima, solo per darti una visione della complessità del problema e di come l'abbiano risolto quelli che con questi problemi ci lavorano, cioè gli elettrotecnici e gli elettronici.
Il calcolo dei circuiti in corrente alternata (o sarebbe più corretto dire in regime sinusoidale) è abbastanza più semplice di quello che si potrebbe pensare, perché le soluzioni cercate sono soluzioni "a regime", per cui si è certi in partenza che ogni generatore sinusoidale immette in rete una grandezza che, per quante trasformazioni subisca, rimane sempre sinusoidale e alla stessa frequenza. Sui vari elementi del circuito avremo sempre delle sinusoidi isofrequenziali, dunque, per le quali sarà sufficiente calcolare solo il rapporto d'ampiezza e di fase con le sinusoidi imposte dai generatori. Per fare questo gli elettrotecnici si avvalgono dei numeri complessi, con i quali è appunto facile calcolare modulo e fase delle grandezze in gioco. Le reattanze pertanto sono numeri immaginari puri, le resistenze numeri reali puri. Le serie di elementi hanno impedenze pari alla somma delle varie resistenze/reattanze in gioco (somma in senso complesso). Per i paralleli basta fare il solito calcoletto, sempre con le resistenze/reattanze, e nel dominio complesso. Una volta presa la mano il calcolo è alquanto semplice.
Nel caso invece dei regimi variabili le cose sono molto più complicate (quando parli di grandezze continue lo fai impropriamente, perché in realtà i generatori del circuito impongono grandezze costanti solo da un certo momento in poi, cioè per t>0, mentre per t<=0 le grandezze imposte erano nulle, e sugli elementi del circuito erano presenti solo delle condizioni iniziali eventualmente non nulle).
Gli eletrotecnici però hanno in odio le equazioni differenziali, farebbero di tutto per evitarle, tanto che hanno inventato un sistema che si chiama "trasformata di Laplace", che a prima vista rischia di essere ancora più complicato, ma che invece, fatta l'abitudine, ci si accorge che sistematizza e quindi alla fine semplifica i calcoli.
In breve si tratta di questo. Immagina di riuscire a far corrispondere ad ogni funzione nel tempo un'altra funzione in un dominio diverso (dominio "s" anziché "t"), detta Trasformata di Laplace della funzione originaria. Immagina che in questo dominio le derivate delle funzioni nel tempo abbiano trasformate che si ottengono moltiplicando semplicemente per "s" le trasformate delle funzioni originarie, e che gli integrali delle funzioni nel tempo abbiano trasformate che si ottengono semplicemente dividendo per "s" le trasformate delle funzioni integrande. E' evidente che così facendo le equazioni differenziali nel dominio del tempo si trasformano in equazioni algebriche di pari grado nel dominio "s", per risolvere le quali è sufficiente trovare le radici in "s" di queste funzioni algebriche (complesse). In questo modo (ti salto i passaggi) le reattanze induttive hanno traformata pari a sL, le reattanze capacitive hanno trasformata pari a 1/sC, le resistenze hanno trasformata pari a R. Al solito si possono fare le serie e i paralleli usando questi valori, e alla fine una volta trovata per via puramente algebrica la trasformata della funzione nel tempo che si vuole determinare, per trovare quest'ultima basta avere una tabella che rappresenti le corrispondenze tra le funzioni trasformate (in "s") e le funzioni nel tempo (comunque, tabella a parte, alla fine ci si accorge che i risultati si assomigliano tutti e si fa un certo "occhio" che permette di evitare le tabelle).
Per tenere conto delle condizioni iniziali (cariche non nulle sui condenzatori e correnti non nulle negli induttori) gli elettrotecnici, che vogliono assolutamente continuare ad evitare le equazioni differenziali, applicano la trasformata di Laplace ad un circuito nel quale le condizioni iniziali sono generate istantaneamente aggiungendo generatori di corrente impulsiva in parallelo ai condensatori (che istantaneamente creano una carica sul condensatore, e quindi una tensione all'istante zero) e generatori di tensione impulsiva in serie agli induttori (che istantaneamente generano un flusso e quindi una corrente all'istante zero), e poi con la sovrapposizione degli effetti determinano il risultato complessivo.
Non so se ti ho fatto troppa confusione, ma d'altra parte per affrontare questi problemi serve una certa base specifica. Ho cercato di essere il più possibile divulgativo, non so se ci sono riuscito.

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