Gravità e pi greco

[darkcrystal]

Due punti materiali di massa m sono inizalmente posti a riposo ad una distanza d. Supponendo che siano soggetti solo alla reciproca attrazione gravitazionale, dimostrare che il tempo che impiegano a incontrarsi è dato da
$ \frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{d^3}{Gm}} $

Ciao!

[Bacco]

Tipico esercizio da risolvere in modo "furbo", sconsigliabile l'approccio all'orientale (ovvero: scrivo la prima cosa che mi viene in mente e inizio a fare contacci...)


Idea fondamentale: ogni massa avverte una massa $ m/4 $ ferma nel centro del sistema.

Keplero 3 (orbita tale che $ e=1 $) con $ a=d/4 $ e $ M=m/4 $, ottengo $ \tau=T/2=\frac{\pi}{4} \sqrt{\frac{d^3}{Gm}} $.


Ciao

P.S.: integralacci, volendo

[darkcrystal]

Ti ringrazio molto, Bacco... ti vorrei solo chiedere una delucidazione (tieni conto che sto iniziando a studiare fisica adesso e da solo, perchè facendo il classico più di tanto non mi posso aspettare). Io avevo tentato (molto bovinamente ) la strada di calcolare l'accelerazione in ogni istante in funzione della posizione di una delle due particelle e poi integrarla due volte, ottenendo così un'espressione dello spazio... (ovviamente) però non ne sono uscito: quello che vorrei sapere è se la strada sarebbe almeno teoricamente praticabile.

Grazie, ciao!

[Bacco]

Teoricamente ineccepibile, anche risolvibile in pratica, ma di certo sconsigliabilissimo! Quell'approccio è disastroso perchè ti viene quella funzione fratta di secondo grado che si integra malissimo. Per saltare il primo passaggio puoi usare l'energia ma in sostanza non cambia nulla.


Puoi dare un'occhiata qui: http://olimpiadi.sns.it/oliForum/viewtopic.php?t=5654
Il caso è analogo...

[__Cu_Jo__]

darkcrystal se vuoi essere masochista come me,almeno non utilizzare la legge di newton,usa la conservzaione dell'energia...Viene sempre un integrale a variabili separate.L'unica cosa di diverso dal problema che ti ha dato bacco è il potenziale gravitazionale.Se x è lo spostamento di una delle masse allora:

$ \displaystyle F = \frac{{Gm^2 }}{{\left( {d - 2x} \right)^2 }} $
Posto $ \displaystyle U\left( \infty \right) = 0 $ hai:

$ \displaystyle U\left( x \right) = \int {\frac{{Gm^2 }}{{\left( {d - 2x} \right)^2 }}dx = } \frac{{Gm^2 }}{{2\left( {d - 2x} \right)}} $

[Gauss_87]

che ne dite di Approccio-MASSA RIDOTTA ???

[__Cu_Jo__]

E cioè?Vogliamo sapere Gauss,illuminaci!

[Gauss_87]

nel caso in questione si potrebbe pensare il sistema di due corpi come un'unica massa, detta massa ridotta:

$ \displaystyle \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} $

quindi visto che le masse sono uguali $ \mu = \frac{m}{2} $

ma ho fatto i conti mi porta un fattore moltiplicativo diverso per un 2 quindi ho pensato male il problema...

purtroppo ho poco tempo...

[__Cu_Jo__]

Mah,per "dimostrare" quello che ha detto bacco(ogni massa avverte una massa $ m/4 $ ferma nel centro del sistema) io non userei la massa ridotta ma semplici ragionamenti con le forze. Come ho già detto
$ \displaystyle F = \frac{{Gm^2 }}{{\left( {d - 2x} \right)^2 }} $
Se ci fosse un pianeta di massa $ M $ nel centro di massa si avrebbe:
$ \displaystyle f = \frac{{GmM}}{{\left( {\frac{d}{2} - x} \right)^2 }} $
Uguagliando le due forze si ottiene $ m=4M $

[Gauss_87]

mi sa che la dimostrazione di quello che ha detto Bacco sta proprio nella massa ridotta in quanto ogni massa $ m $ avverte al centro una massa che è la metà della massa ridotta del sistema dei due corpi$ \displaystyle M = \frac{\mu}{2} $ quindi viene $ \displaystyle M = \frac{m}{4} $