Un corpo puntiforme di massa $ m $ è nei pressi di un pianeta sferico di massa $ M $ e raggio $ R $. La distanza tra il pianeta e il corpo è $ d $. Il corpo si sta muovendo con una velocità vettoriale $ v $, della quale si ignorano modulo e direzione. L'attrazione gravitazionale fa sì che questo corpo inizi a muoversi intorno al pianeta per poi scontrarsi con esso. Determinare, in funzione dei dati forniti(R, d, M, v) il tempo che impiega il corpo a scontrarsi col pianeta. Si supponga $ M>>m $ ==> il pianeta rimane sostanzialmente fermo.
Ho tentato un po' stamani in ricreazione e durante latino ma non mi è sembrato facile...
Corpo attirato da un pianeta
Sì, intendevo velocità con modulo e direzioni generici, scusa l'errore. Comunque sei sicuro che conti solo la velocità radiale?
Dividiamo la velocità del corpo in radiale e tangenziale. Se tu ignori l'esistenza della velocità tangenziale, puoi risolvere il problema (abbastanza) facilmente. Ma se consideri la velocità tangenziale, hai un problema in più, perchè questa velocità fa a sua volta variare la posizione del corpo e quindi la sua distanza dal pianeta, e quindi la gravità. In ogni istante perciò la direzione "radiale" è diversa, se è presente una velocità tangenziale.
Inoltre, per farmi capire meglio... Se anche la gravità dipendesse solo dalla posizione sull'asse del Raggio iniziale (diciamo asse x), nel frattempo il corpo si sarà spostato di un tot sull'asse y grazie alla velocità tangenziale, e tornando indietro non "colpirà" il pianeta... Altrimenti i moti non sarebbero a spirale
Dividiamo la velocità del corpo in radiale e tangenziale. Se tu ignori l'esistenza della velocità tangenziale, puoi risolvere il problema (abbastanza) facilmente. Ma se consideri la velocità tangenziale, hai un problema in più, perchè questa velocità fa a sua volta variare la posizione del corpo e quindi la sua distanza dal pianeta, e quindi la gravità. In ogni istante perciò la direzione "radiale" è diversa, se è presente una velocità tangenziale.
Inoltre, per farmi capire meglio... Se anche la gravità dipendesse solo dalla posizione sull'asse del Raggio iniziale (diciamo asse x), nel frattempo il corpo si sarà spostato di un tot sull'asse y grazie alla velocità tangenziale, e tornando indietro non "colpirà" il pianeta... Altrimenti i moti non sarebbero a spirale
Inanzitutto bisogna chiarire l'orbita su cui il corpo viaggia.Sul corpo agisce solo la forza gravitazionale che è una forza centrale inversamente proporzionale al quadrato della distanza.In queste condizioni l'orbita deve essere necessariamente una conica in cui uno dei fuochi è occupato dal pianeta di massa M( $ m \ll M $).
Come si fa a capire subito qual è l'orbita?Basta calcolare l'energia meccanica iniziale.Pongo l'energia potenziale gravitazionale a distanza infinita uguale a 0. Allora l'energia meccanica nell'istante iniziale è:
$ \displaystyle E = \frac{1}{2}mv_0^2 - G\frac{{mM}}{d}[1] $
Si possono presentare vari casi.
L'orbita è ellittica.Allora deve essere $ E<0 $.L'ellisse è l'unica conica chiusa.
Se $ E \ge 0 $ l'orbita è aperta. In particolare se $ E>0 $ l'orbita è un ramo d'iperbole se $ E=0 $ è una parabola.
Non è detto però che quando l'orbita è aperta il corpo sfugge dall'attrazione gravitazionale.Il pianeta ha infatti un estensionale spaziale quindi può succedere che l'orbita su cui il corpo di massa m viaggia interseca la supercie del pianeta in un punto(che è il punto di caduta).
Vediamo tutti i casi possibili
Orbita ellittica di semiasse maggiore a.
Nel caso di un'orbita ellittica si può scrivere:
$ \displaystyle E = - \frac{{GmM}}{{2a}} $ (per dimostrare questa formula ci vuole un bel po' di analisi infinitesimale ,ma se proprio vuoi essere masochista vai qua: http://scienceworld.wolfram.com/physics ... oblem.html).
Dalla [1] hai:
$ \displaystyle \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{{mM}}{R} = - \frac{{GmM}}{{2a}} $
Da cui:
$ \displaystyle v = \sqrt {2GM\left( {\frac{1}{R} - \frac{1}{{2a}}} \right)} $
Con questa formula hai tutto quello che cerchi.In particolare se $ v_o $ è la velocità iniziale allora:
$ \displaystyle v_0 = \sqrt {2GM\left( {\frac{1}{d} - \frac{1}{{2a}}} \right)} $.
Orbita parabolica.
Hai semplicemente:
$ \displaystyle \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{{mM}}{R} = 0 $
ovvero:
$ \diplaystyle v = \sqrt {\frac{{2GM}}{R}} $
Quando il corpo è fuori dal campo gravitazionale di M la sua velocità è nulla(basta che fai $ R \to + \infty $)
Orbita iperbolica
In questo caso $ \displaystyle E = \frac{{GmM}}{{2a}} $
a è il semiasse maggiore dell'perbole ovvero la metà della distanza tra i due rami.
$ \displaystyle v = \sqrt {2GM\left( {\frac{1}{R} + \frac{1}{{2a}}} \right)} $
Il corpo di massa m esce dal campo gravitazionale con una velocità(eccesso iperbolico) pari a:
$ \displaystyle v_\infty = \sqrt {\frac{{2GM}}{{2a}}} $.
Come si fa a capire subito qual è l'orbita?Basta calcolare l'energia meccanica iniziale.Pongo l'energia potenziale gravitazionale a distanza infinita uguale a 0. Allora l'energia meccanica nell'istante iniziale è:
$ \displaystyle E = \frac{1}{2}mv_0^2 - G\frac{{mM}}{d}[1] $
Si possono presentare vari casi.
L'orbita è ellittica.Allora deve essere $ E<0 $.L'ellisse è l'unica conica chiusa.
Se $ E \ge 0 $ l'orbita è aperta. In particolare se $ E>0 $ l'orbita è un ramo d'iperbole se $ E=0 $ è una parabola.
Non è detto però che quando l'orbita è aperta il corpo sfugge dall'attrazione gravitazionale.Il pianeta ha infatti un estensionale spaziale quindi può succedere che l'orbita su cui il corpo di massa m viaggia interseca la supercie del pianeta in un punto(che è il punto di caduta).
Vediamo tutti i casi possibili
Orbita ellittica di semiasse maggiore a.
Nel caso di un'orbita ellittica si può scrivere:
$ \displaystyle E = - \frac{{GmM}}{{2a}} $ (per dimostrare questa formula ci vuole un bel po' di analisi infinitesimale ,ma se proprio vuoi essere masochista vai qua: http://scienceworld.wolfram.com/physics ... oblem.html).
Dalla [1] hai:
$ \displaystyle \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{{mM}}{R} = - \frac{{GmM}}{{2a}} $
Da cui:
$ \displaystyle v = \sqrt {2GM\left( {\frac{1}{R} - \frac{1}{{2a}}} \right)} $
Con questa formula hai tutto quello che cerchi.In particolare se $ v_o $ è la velocità iniziale allora:
$ \displaystyle v_0 = \sqrt {2GM\left( {\frac{1}{d} - \frac{1}{{2a}}} \right)} $.
Orbita parabolica.
Hai semplicemente:
$ \displaystyle \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{{mM}}{R} = 0 $
ovvero:
$ \diplaystyle v = \sqrt {\frac{{2GM}}{R}} $
Quando il corpo è fuori dal campo gravitazionale di M la sua velocità è nulla(basta che fai $ R \to + \infty $)
Orbita iperbolica
In questo caso $ \displaystyle E = \frac{{GmM}}{{2a}} $
a è il semiasse maggiore dell'perbole ovvero la metà della distanza tra i due rami.
$ \displaystyle v = \sqrt {2GM\left( {\frac{1}{R} + \frac{1}{{2a}}} \right)} $
Il corpo di massa m esce dal campo gravitazionale con una velocità(eccesso iperbolico) pari a:
$ \displaystyle v_\infty = \sqrt {\frac{{2GM}}{{2a}}} $.
Nooooooooo!Ecco cosa si combina non leggendo bene il testo...Il bello è che andavo tutto convinto...
Comunque,se andate qua http://scienceworld.wolfram.com/physics ... oblem.html c'è la funzione che lega il tempo e la distanza. Basta calcolare T(R).Qualcuno ha il fegato di leggersela tutta?
Comunque,se andate qua http://scienceworld.wolfram.com/physics ... oblem.html c'è la funzione che lega il tempo e la distanza. Basta calcolare T(R).Qualcuno ha il fegato di leggersela tutta?
Vorrei contribuire con una considerazione che certo non risolve il problema del tempo (a prima vista mi sembra che per risolverlo ci si vada a impelagare in calcoli impossibili), ma che mi sembra comunque abbastanza furba (spero che non sia invece sbagliata... ditemelo voi).
Mi sono chiesto: c'è un modo rapido per capire se il corpo cade o no sul pianeta? e mi sono dato la seguente risposta.
Consideriamo le due componenti radiale e trasversale della velocità iniziale del corpo. A parità di modulo della velocità iniziale, è chiaro che il corpo colpirà il pianeta solo se la sua componente trasversale è abbastanza "piccola". Il caso limite è quello nel quale il corpo cadente sfiora il pianeta e quindi la sua traiettoria è ad esso tangente. Questo caso si ottiene con una velocità trasversale iniziale che chiamerò velocità trasversale discriminante. Per velocità trasversali minori della discriminante il corpo colpirà il pianeta, per velocità iniziali trasversali maggiori il corpo ruoterà attorno al pianeta o si perderà nello spazio, a seconda del modulo della velocità.
Non mi resta quindi che determinare quale sia questa velocità iniziale trasversale discriminante.
Ebbene, considerando la suddetta traiettoria tangente posso dire che quando il corpo arriverà a lambire il pianeta (e quindi si troverà a distanza R dal suo centro) la sua velocità (in modulo) sarà:
$ v^2=v_0^2+2GM(\frac{1}{R}-\frac{1}{d}) $
In questo caso, essendo la traiettoria tangente al pianeta, questa velocità è soltanto trasversale. Ma allora mi ricordo di una cosa fondamentale per le forze centrali, e cioè che il momento angolare si conserva. E siccome il momento angolare del corpo è dato dalla sola componente trasversale della sua quantità di moto, allora deve anche valere la relazione $ vR=v_{0_T}d $ dove $ v_{0_T} $ è la componente trasversale della velocità iniziale. Si conclude dunque che il corpo colpirà il pianeta solo se la componente trasversale della velocità iniziale soddisfa la seguente relazione:
$ v_{0_T}<\frac{R}{d}\sqrt{v_0^2+2GM(\frac{1}{R}-\frac{1}{d})} $
Che ne dite?
Ciao
p.s.: riguardo al tempo che ci mette il corpo per arrivare sul pianeta, ci ho ripensato qualche minuto in più e mi sembra che forse l'integrale viene. Oggi non ho tempo di approfondire ma domani forse...
Mi sono chiesto: c'è un modo rapido per capire se il corpo cade o no sul pianeta? e mi sono dato la seguente risposta.
Consideriamo le due componenti radiale e trasversale della velocità iniziale del corpo. A parità di modulo della velocità iniziale, è chiaro che il corpo colpirà il pianeta solo se la sua componente trasversale è abbastanza "piccola". Il caso limite è quello nel quale il corpo cadente sfiora il pianeta e quindi la sua traiettoria è ad esso tangente. Questo caso si ottiene con una velocità trasversale iniziale che chiamerò velocità trasversale discriminante. Per velocità trasversali minori della discriminante il corpo colpirà il pianeta, per velocità iniziali trasversali maggiori il corpo ruoterà attorno al pianeta o si perderà nello spazio, a seconda del modulo della velocità.
Non mi resta quindi che determinare quale sia questa velocità iniziale trasversale discriminante.
Ebbene, considerando la suddetta traiettoria tangente posso dire che quando il corpo arriverà a lambire il pianeta (e quindi si troverà a distanza R dal suo centro) la sua velocità (in modulo) sarà:
$ v^2=v_0^2+2GM(\frac{1}{R}-\frac{1}{d}) $
In questo caso, essendo la traiettoria tangente al pianeta, questa velocità è soltanto trasversale. Ma allora mi ricordo di una cosa fondamentale per le forze centrali, e cioè che il momento angolare si conserva. E siccome il momento angolare del corpo è dato dalla sola componente trasversale della sua quantità di moto, allora deve anche valere la relazione $ vR=v_{0_T}d $ dove $ v_{0_T} $ è la componente trasversale della velocità iniziale. Si conclude dunque che il corpo colpirà il pianeta solo se la componente trasversale della velocità iniziale soddisfa la seguente relazione:
$ v_{0_T}<\frac{R}{d}\sqrt{v_0^2+2GM(\frac{1}{R}-\frac{1}{d})} $
Che ne dite?
Ciao
p.s.: riguardo al tempo che ci mette il corpo per arrivare sul pianeta, ci ho ripensato qualche minuto in più e mi sembra che forse l'integrale viene. Oggi non ho tempo di approfondire ma domani forse...
Svolgo l'ultimo p.s.
Riprendendo la formula $ v^2=v_0^2+2GM(\frac{1}{r}-\frac{1}{d}) $ (dove r è la distanza generica dal pianeta) e notando che la conservazione del momento angolare vuole che in ogni istante sia $ v_Tr=v_{0_T}d $ ($ v_T $ è la generica componente trasversale della velocità), ricavo la velocità radiale come $ v_r=\sqrt{v^2-v_T^2}=\sqrt{v_0^2+2GM(\frac{1}{r}-\frac{1}{d})-v_{0_T}^2(\frac{d^2}{r^2})} $.
Sapendo che $ dr=v_rdt $, detto T il tempo cercato (tempo di impatto del corpo sul pianeta) si ha $ T=\int_{0}^{T}dt=\int_{d}^{R}\frac{dr}{v_r} $
Posto:
$ A=\sqrt{v_0^2-\frac{2GM}{d}} $
$ B=\frac{2GM}{A^2} $
$ C=-\frac{v_{0_T}^2 d^2}{A^2} $
$ K=C-\frac{B^2}{4} $
$ x=r+\frac{B}{2} $
$ x_1=d+\frac{B}{2} $
$ x_2=R+\frac{B}{2} $
l'integrale diventa:
$ T=\int_{x_1}^{x_2}\frac{x-\frac{B}{2}}{A\sqrt{x^2+K^2}}dx= $
$ =\frac{1}{2A}\left(-2\sqrt{K^2+x_1^2}+2\sqrt{K^2+x_2^2}+B\,log\biggl[\frac{x_1+\sqrt{K^2+x_1^2}}{x_2+\sqrt{K^2+x_2^2}}\biggr]\right) $
Tutto ciò è vero se, naturalmente, non ho sbagliato i conti oppure riportato male qualche formula (entrambe eventualità altamente probabili).
Ma al di là del risultato algebrico, sicuramente poco amichevole, quello che conta è il procedimento.
Riprendendo la formula $ v^2=v_0^2+2GM(\frac{1}{r}-\frac{1}{d}) $ (dove r è la distanza generica dal pianeta) e notando che la conservazione del momento angolare vuole che in ogni istante sia $ v_Tr=v_{0_T}d $ ($ v_T $ è la generica componente trasversale della velocità), ricavo la velocità radiale come $ v_r=\sqrt{v^2-v_T^2}=\sqrt{v_0^2+2GM(\frac{1}{r}-\frac{1}{d})-v_{0_T}^2(\frac{d^2}{r^2})} $.
Sapendo che $ dr=v_rdt $, detto T il tempo cercato (tempo di impatto del corpo sul pianeta) si ha $ T=\int_{0}^{T}dt=\int_{d}^{R}\frac{dr}{v_r} $
Posto:
$ A=\sqrt{v_0^2-\frac{2GM}{d}} $
$ B=\frac{2GM}{A^2} $
$ C=-\frac{v_{0_T}^2 d^2}{A^2} $
$ K=C-\frac{B^2}{4} $
$ x=r+\frac{B}{2} $
$ x_1=d+\frac{B}{2} $
$ x_2=R+\frac{B}{2} $
l'integrale diventa:
$ T=\int_{x_1}^{x_2}\frac{x-\frac{B}{2}}{A\sqrt{x^2+K^2}}dx= $
$ =\frac{1}{2A}\left(-2\sqrt{K^2+x_1^2}+2\sqrt{K^2+x_2^2}+B\,log\biggl[\frac{x_1+\sqrt{K^2+x_1^2}}{x_2+\sqrt{K^2+x_2^2}}\biggr]\right) $
Tutto ciò è vero se, naturalmente, non ho sbagliato i conti oppure riportato male qualche formula (entrambe eventualità altamente probabili).
Ma al di là del risultato algebrico, sicuramente poco amichevole, quello che conta è il procedimento.
Non capisco la tua osservazione. Ti dico tutta la storia, così vediamo se ci capiamo.
Definiamo una coppia di versori unitari posizionati sul corpo: $ \mathbf{u_r} $ avente direzione radiale e $ \mathbf{u_T} $ avente direzione ortogonale al precedente, o trasversale come si usa dire. In generale la traiettoria in quel punto non sarà né puramente radiale né puramente trasversale, per cui il vettore velocità avrà sia la componente radiale che la componente trasversale. In coordinate polari $ (r,\theta) $ il vettore velocità potrà scriversi $ \mathbf{v}=v_r \mathbf{u_r }+ v_T \mathbf{u_T} $, dove $ v_r=\frac{dr}{dt} $ e $ v_T=r\frac{d\theta}{dt} $. Dunque $ v_r $ e $ dr $ sono due scalari. Non so se ho risposto.
Definiamo una coppia di versori unitari posizionati sul corpo: $ \mathbf{u_r} $ avente direzione radiale e $ \mathbf{u_T} $ avente direzione ortogonale al precedente, o trasversale come si usa dire. In generale la traiettoria in quel punto non sarà né puramente radiale né puramente trasversale, per cui il vettore velocità avrà sia la componente radiale che la componente trasversale. In coordinate polari $ (r,\theta) $ il vettore velocità potrà scriversi $ \mathbf{v}=v_r \mathbf{u_r }+ v_T \mathbf{u_T} $, dove $ v_r=\frac{dr}{dt} $ e $ v_T=r\frac{d\theta}{dt} $. Dunque $ v_r $ e $ dr $ sono due scalari. Non so se ho risposto.
Ultima modifica di Flavio5x il 11 giu 2006, 18:57, modificato 1 volta in totale.