Vi propongo di trovare una funzione che metta in relazione la pressione atmosferica con la quota misurata a partire dal livello del mare (pressione P come funzione della quota h), e di descrivere il procedimento utilizzato.
La funzione da me trovata ha dato risultati in ottimo accordo con la realtà utilizzando i seguenti valori dei parametri:
$ P_0=1013\quad h\,Pa $
$ T_0=288\quad °K $
$ \tau=-0,0065\quad \frac{°K}{m} $
$ g=9,8\quad \frac{m}{s^2} $
$ R=287\quad \frac{J}{Kg\,°K} $
dove $ P_0 $ e $ T_0 $ sono la temperatura media e la pressione media dell'aria al livello del mare rispettivamente. Ovviamente nelle applicazioni reali questi due parametri vanno modificati in funzione delle condizioni del tempo e della stagione (come dire che ogni altimetro richiede una taratura).
$ \tau $ è il decremento medio di temperatura per metro di quota a partire dal livello del mare (la temperatura in funzione della quota, infatti, può essere ben approssimata con un andamento lineare a pendenza negativa). R è la costante dei gas relativa al caso dell'aria.
Relazione quota-pressione
Flavio i tuoi esercizi li sbaglio sempre,speriamo che con questo abbia più fortuna!
Vediamo un po'...Inanzitutto ho il gradiente della temperatura quindi posso scrivere:
$ \displaystyle \frac{{dT}}{{dz}} = \tau \Rightarrow T - T_0 = z\tau \Rightarrow T = T_0 + z\tau $
Considero un cubetto di aria di volume V.Per la legge dei gas perfetti:
$ PV = nRT $
da cui dividendo ambo i membri per m:
$ \displaystyle \frac{p}{\rho } = \frac{{RT}}{M} $ ($ \displaystyle M = \frac{{\rho _0 T_0 R}}{{p_0 }} $ è la massa molare dell'aria).
Possiamo considerare con buona approssimazione l'aria come un fluido in equilibrio e applicare la legge di stevino:
$ \displaystyle \frac{{dp}}{{dz}} = - \rho g = - \frac{{pMg}}{{RT}} = - \frac{{pMg}}{{R\left( {T_0 + z\tau } \right)}} = \alpha \frac{p}{{T_0 + z\tau }} $
avendo posto $ \displaystyle \alpha = - \frac{{Mg}}{R} $
Separiamo le variabili:
$ \displaystyle \frac{{dp}}{p} = \alpha \frac{{dz}}{{T_0 + z\tau }} $
A questo punto basta integrare per ottenere:
$ \displaystyle p = p_0 \left( {1 + \frac{{z\tau }}{{T_0 }}} \right)^{\frac{\alpha }{\tau }} \simeq p_0 \left( {1 + \frac{{\alpha z}}{{T_0 }}} \right) $
Vediamo un po'...Inanzitutto ho il gradiente della temperatura quindi posso scrivere:
$ \displaystyle \frac{{dT}}{{dz}} = \tau \Rightarrow T - T_0 = z\tau \Rightarrow T = T_0 + z\tau $
Considero un cubetto di aria di volume V.Per la legge dei gas perfetti:
$ PV = nRT $
da cui dividendo ambo i membri per m:
$ \displaystyle \frac{p}{\rho } = \frac{{RT}}{M} $ ($ \displaystyle M = \frac{{\rho _0 T_0 R}}{{p_0 }} $ è la massa molare dell'aria).
Possiamo considerare con buona approssimazione l'aria come un fluido in equilibrio e applicare la legge di stevino:
$ \displaystyle \frac{{dp}}{{dz}} = - \rho g = - \frac{{pMg}}{{RT}} = - \frac{{pMg}}{{R\left( {T_0 + z\tau } \right)}} = \alpha \frac{p}{{T_0 + z\tau }} $
avendo posto $ \displaystyle \alpha = - \frac{{Mg}}{R} $
Separiamo le variabili:
$ \displaystyle \frac{{dp}}{p} = \alpha \frac{{dz}}{{T_0 + z\tau }} $
A questo punto basta integrare per ottenere:
$ \displaystyle p = p_0 \left( {1 + \frac{{z\tau }}{{T_0 }}} \right)^{\frac{\alpha }{\tau }} \simeq p_0 \left( {1 + \frac{{\alpha z}}{{T_0 }}} \right) $
Ottimo. 
Solo come precisazione, ciò che io chiamavo R (che per l'aria vale 287) tu lo chiami R/M, poiché il mio R era già riferito ad 1 Kg di gas.
Noto poi che, a conti fatti, la tua formula approssimata finale su 1000 metri dà un errore di circa 6 hPa corrispondenti a circa 50 metri, che non sono proprio pochi (e te ne rendi meglio conto se sei un escursionista come me). Meglio allora usare la formula esatta, che mettendo i numeri diventa:
$ P=P_0(1-z\frac{0,0065}{T_0})^{5,2533} $
E' anche chiaro che nella pratica è forse più utile la formula inversa, che determina la quota in funzione della pressione misurata.
p.s. Non mi pare affatto che sbagli sempre i miei esercizi!!!
Ciao
Solo come precisazione, ciò che io chiamavo R (che per l'aria vale 287) tu lo chiami R/M, poiché il mio R era già riferito ad 1 Kg di gas.
Noto poi che, a conti fatti, la tua formula approssimata finale su 1000 metri dà un errore di circa 6 hPa corrispondenti a circa 50 metri, che non sono proprio pochi (e te ne rendi meglio conto se sei un escursionista come me). Meglio allora usare la formula esatta, che mettendo i numeri diventa:
$ P=P_0(1-z\frac{0,0065}{T_0})^{5,2533} $
E' anche chiaro che nella pratica è forse più utile la formula inversa, che determina la quota in funzione della pressione misurata.
p.s. Non mi pare affatto che sbagli sempre i miei esercizi!!!
Ciao