Paradosso di Zenone
Paradosso di Zenone
Una tartaruga si muove di moto rettilineo uniforme a velocità $ v_0 $; Achille la segue muovendosi di moto rettilineo uniforme a velocità $ v>v_0 $. I due sono inizialmente separati da una distanza $ d\, $; com'è noto, Achille raggiungerà la tartaruga in un intervallo di tempo finito $ \Delta t=\frac{d}{v-v_0} $. Il filosofo greco Zenone tuttavia non la pensava così; egli ragionava in questo modo: intanto che Achille copre la distanza $ d\, $, la tartaruga si è spostata in avanti di un tratto $ \Delta d $; intanto che Achille copre la distanza residua $ \Delta d $, la tartaruga si è spostata in avanti di un tratto $ \Delta d' $, e così via, quindi Achille non raggiungerà mai la tartaruga. Dimostrare che Zenone si sbagliava, ossia che, anche ragionando come aveva ragionato lui, il tempo che Achille impiega per raggiungere la tartaruga è comunque finito.
Lunga vita e prosperità
Diviadiamo su suggerimento di Zenone il moto in diverse tappe. Nell'istante iniziale Achille si trova nella posizione $ d_A = 0 $, mentre la tartaruga nella posizione $ d_T = d $.Se numeriamo le tappe da 0 a n,allora la posizione occupata da Achille nella tappa n è $ \displaystyle d_A = \sum\limits_{i = 0}^n d \left( {\frac{{v_0 }}{v}} \right)^i $, mentre la posizione della tartaruga è $ \displaystyle d_T = \sum\limits_{i = 0}^{n + 1} d \left( {\frac{{v_0 }}{v}} \right)^i $. Si vede subito che per $ n \to + \infty $ le 2 posizioni convergono allo stesso valore. Fino a qua il ragionamento di Zenone va tutto bene, ed effettivamente bisognerebbe dividere il moto in infinite tappe. Zenone sbaglia però nel dire che un numero infinito di tappe implica un tempo di incontro fra i due anch'esso infinito. Achille arriva nella tappa n nell'istante:$ \displaystyle t_A = \frac{{d_A }}{v} = \frac{{\sum\limits_{i = 0}^n d \left( {\frac{{v_0 }}{v}} \right)^n }}{v} = d\frac{{\left( {\frac{{v_0 }}{v}} \right)^{n + 1} - 1}}{{v_0 - v}} $. Passando al limite, si ricava che la tartaruga e Achille si incontrano in un intervallo di tempo finito $ \displaystyle \Delta t = \frac{d}{{v - v_0 }} $.
Achille percorre la distanza d nell'intervallo di tempo $ \displaystyle \Delta t = \frac{d}{v} $.Nello stesso intervallo di tempo la tartaruga percorre uno spazio pari a $ \displaystyle v_0 \Delta t = d\frac{{v_0 }}{v} $. Nella seconda tappa Achille copre uno spazio pari a $ d\frac{{v_0 }}{v} $.Con lo stesso identico ragionamentto si ricava che la tartaruga si allontana di $ d\left( {\frac{{v_0 }}{v}} \right)^2 $ dalla sua posizione precedente; e così via... Alla fine sommando i vari perocorsi di Achille si ottiene quella sommatoria.NEONEO ha scritto:Ciao CuJo, non ho capito la formula $ d_a= $...potresti spiegarla?