momento angolare

[tuvok]

Un disco uniforme di massa M e raggio R ruota con velocità angolare [omega] costante attorno a un asse perpendicolare ad esso e passante per il suo centro O. Sia Lo=1/2MR²[omega] il momento angolare di tale disco rispetto a O; si chiede di calcolare il momento angolare del disco rispetto a un punto a distanza R da O ed eventualmente di generalizzare per un punto a distanza generica r.

[NEONEO]

Usa steiner!

[tuvok]

non credo che sia così semplice... la formula L=I[omega] vale solo se I e omega sono costanti. Per riferire il momento angolare a un punto a distanza R da O bisogna calcolare la somma vettoriale di tutti i momenti angolari delle singole particelle che compongono il disco.... E per una singola particella i vettori posizione e quantità di moto non sono più perpendicolari se non riferiti a O...
Ma con un po' di calcoli vettoriali è fattibile lo stesso

[cavallipurosangue]

Fino a che $ r\leq R $, puoi applicare il teorema di Steiner tranquillamente, infatti:
$ L=\displaystyle{\sum_{n=0}^km_n v_nr_{\perp_{n}}}=\omega\sum_{n=0}^km_nr_{\perp_{n}}^2=I\omega $
Poi per il Th. di Steiner ti trovi il momento d'inerzia:
$ I=I_{cdm}+mr^2 $
Fine.

[tuvok]

Come si spiega allora il fatto che il momento angolare del disco calcolato rispetto a un punto a distanza R dal centro è sempre Lo? (dove Lo è il momento angolare calcolato rispetto al centro)

[giorgiobusoni87]

Come si spiega allora il fatto che il momento angolare del disco calcolato rispetto a un punto a distanza R dal centro è sempre Lo? (dove Lo è il momento angolare calcolato rispetto al centro)

significa che la velocità angolare omega viene diminuita (conservazione momento angolare==> W*I= costante)
Il momento angolare a distanza R è 3/2MR^2, per il centro era 1/2MR^2, quindi la velocità angolare finale è 1/3 di quella iniziale e il sistema ha compiuto un lavoro L=1/2*1/2MR^2*W^2-1/2*3/2MR^2*(W/3)^2=1/6MR^2W^2

[tuvok]

Scusatemi, non mi ero spiegato bene: il problema non chiedeva di IMPERNIARE il disco su un nuovo punto a distanza R dal centro, altrimenti è chiaro che vale la conservazione del momento angolare! Il disco invece ruota sempre rispetto a O, che resta fisso: il problema chiede di calcolare il momento angolare rispetto a un ipotetico punto del piano a distanza R da O che NON ruoti insieme col disco, ossia mantenga la sua posizione rispetto a O.
Questo calcolo torna utile in tutti quei problemi di dischi ruotanti che vengono portati a contatto, ecc...

[giorgiobusoni87]

ok, è sicuramente risolvibile con un integrale bello complicato: l'ho fatto or ora (con l'ausilio della calcolatrice) e si fa (mi viene 17/32MWR^2, probabilemnte ho sbagliato a digitare qualcosa comunque siamo lì)
non so se esiste un metodo meno complicato

[tuvok]

Io l'avevo risolto così:
sia $ \vec{r_i} $ il vettore che ha coda in O e punta nella i-esima particella del disco e sia $ \vec{\rho_i} $ il vettore che ha coda nel punto a distanza R e punta nella i-esima particella; sia inoltre $ \vec{\omega} $ la velocità angolare del disco. Applicando la definizione di momento angolare è chiaro che
$ \vec{L_0}=\sum_i m_i\vec{r_i}\wedge\vec{v_i} $
$ \vec{L_R}=\sum_i m_i\vec{\rho_i}\wedge\vec{v_i} $
Ma poichè $ \vec{v_i}=\vec{r_i}\wedge\vec{\omega} $ e $ \vec{\rho_i}=\vec{r_i}-\vec{R} $ allora
$ \vec{L_R}=\sum_i m_i(\vec{r_i}-\vec{R})\wedge\vec{v_i}=\vec{L_0}-\vec{R}\wedge\sum_i m_i\vec{v_i} $ che è pari a $ \vec{L_0}-\vec{R}\wedge((\sum_im_i\vec{r_i})\wedge\vec{\omega}) $
Ma poichè $ \sum_im_i\vec{r_i} $ definisce il centro di massa del disco, allora si ha che $ \sum_im_i\vec{r_i}=\vec{0} $ e quindi che
$ \vec{L_R}=\vec{L_0} $, $ \Vert\vec{L_R}\Vert=\frac{MR^2\omega}{2} $

[NEONEO]

ok, adesso ho capito..... cmq non lo sapevo che valesse questa proprietà...... forse perchè non l'ho neanche mai usata. Potresti proporre un problema in cui se ne fa uso?
Ciao

[tuvok]

Due dischi uniformi, di massa, raggio e velocità angolare rispettivamente $ M_1,M_2 $, $ R_1,R_2 $ e $ \omega_1,\omega_2 $.
I dischi vengono portati a contatto e nel punto di contatto si ha rotolamento puro. Trovare la velocità angolare finale di rotazione $ \omega^' $

[NEONEO]

dovrebbe essere:
$ \omega'=\frac{ I_1\omega_1+I_2\omega_2}{I_1+I_2} $

Notare l'impegno con il latex......

[tuvok]

Mi sono spiegato male: bisogna trovare le velocità angolari finali $ \omega'_1 $ e $ \omega'_2 $, che sono distinte, poichè devi tenere conto della conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto e della condizione di rotolamento puro: $ \omega'_1R_1=\omega'_2R_2 $