Locomotiva elettrica e Binari... senza attrito...

Meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, relatività, ...
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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 »

scusa BMcKMas ma quando dicevo risoluzione finale intendevo se potresti darci la formula finale del periodo secondo il tuo ragionamento!
Inoltre non scordare che bisogna discutere i limiti delle masse e determinare la traiettoria di moto della locomotiva rispetto al riferimento fisso!

Comunque hai ragione, in effetti è bene considerare non solo il moto dei CM di locomotiva e binari, ma anche la rotazione dei binari in quanto corpo rigido.

Quindi avevo anche pensato di... buttarla sull'Energia (non so se il tuo ragionamento intendeva questo perchè non mi è tanto chiaro).
Ora Vi chiedo: l'Energia che il sistema locomotiva + binari è la stessa indipendentemente se CM dei binari si muove o no???
Se fosse la stessa si avrebbe:

$ m v_0^2 = m v_L^2 + M v_B^2 + I \omega^2 $

(dove I è il Momento di Inerzia di un Anello: $ M R^2 $,
$ \omega $ è la velocità angolare con cui i binari ruotano attorno al loro centro geometrico, ma non sono sicuro su quale velocità tangenziale usare per ricavarla)

Che ne dite?
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
BMcKmas
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Messaggio da BMcKmas »

Gauss_87 ha scritto:scusa BMcKMas ma quando dicevo risoluzione finale intendevo se potresti darci la formula finale del periodo secondo il tuo ragionamento!
Inoltre non scordare che bisogna discutere i limiti delle masse e determinare la traiettoria di moto della locomotiva rispetto al riferimento fisso!

Comunque hai ragione, in effetti è bene considerare non solo il moto dei CM di locomotiva e binari, ma anche la rotazione dei binari in quanto corpo rigido.

Quindi avevo anche pensato di... buttarla sull'Energia (non so se il tuo ragionamento intendeva questo perchè non mi è tanto chiaro).
Ora Vi chiedo: l'Energia che il sistema locomotiva + binari è la stessa indipendentemente se CM dei binari si muove o no???
Se fosse la stessa si avrebbe:

$ m v_0^2 = m v_L^2 + M v_B^2 + I \omega^2 $

(dove I è il Momento di Inerzia di un Anello: $ M R^2 $,
$ \omega $ è la velocità angolare con cui i binari ruotano attorno al loro centro geometrico, ma non sono sicuro su quale velocità tangenziale usare per ricavarla)

Che ne dite?
Vi posto la mia soluzione (ovviamente da verificare), in cui chiamo:

$ \rho = \frac {m} {M} $ il rapporto delle masse
$ T_0 = 2\pi \frac{R}{v_0} $ il periodo nel caso di binario bloccato a terra
$ a $ il raggio della traiettoria del trenino
$ A $ il raggio della traiettoria del baricentro del binario
$ T $ il periodo comune dei moti circolari dei baricentri

a me risulta:

$ a= \frac {1} {1+\rho} $
$ A= \frac {\rho} {1+\rho} $
$ T = \frac {1+2\rho} {1+\rho} T_0 $

Per quanto riguarda i limiti....

Il primo ($ \rho \to 0 $ ) effettivamente non pone problemi

$ a \to R $ , $ A \to 0 $ e $ T \to T_0 $

è la sitazione fisicamente realistica di un binario massivo e un treno molto più piccolo.

Quando le masse sono confrontabili $ \rho >0 $ la soluzione prevede questo: il binario si muove, la traiettoria del trenino si riduce rispetto a $ R $ e il tempo di percorrenza della traiettoria aumenta.

Il caso limite opposto $ \rho \to \infty $ ha i seguenti esisti (matematici):

$ a \to 0 $ , $ A \to R $ e $ T \to 2T_0 $.

Quando il binario è poco massivo rispetto al treno si prevede quindi una specie di moto alla ulla-op (non so come si scrive).

Perchè è poco verosimile tale limite? Penso che la ragione sia questa: man mano che la massa del binario si riduce, il moto del treno tende a diventare di pura rotazione attorno al suo baricentro (ricordiamoci che il treno deve sempre essere orientato come il binario). Nel nostro modello però noi abbiamo assunto il treno come un punto materiale e quindi abbiamo trascurato degli effetti (energetici e dinamici) dell'inerzia rotazionale del treno. Questa ipotesi va bene finchè il treno è piccolo ma quando la sua massa diventa preponderante nel problema l'ipotesi diventa irrealistica: come fa un oggetto ad avere massa infinita e momento d'inerzia nullo? Non è strano quindi che per questo problema l'ipotesi di punto materiale per il treno diventa assurda quando la sua massa è prevalente. Per un treno molto massivo il fenomeno dipende in modo rilevante anche dalle altre sue caratteristiche inerziali, in particolare il momento d'inerzia di massa attorno al suo baricentro.
In pratica, supponiamo di prendere un grosso treno (inerzia infinita) e di farci scorrere sotto un binario privo di massa, cosa succede? Il treno sta fermo (anche come orientamento nel piano) e il binario gira attorno al suo baricentro (quello del binario che sta fermo), il periodo del moto è $ T_0 $. Questo è verosimile, tuttavia per ottenere tale risultato, in palese contrasto con quello ottenuto, dobbiamo considerare tendente a infinito anche il momento d'inerzia di massa del treno attorno al suo asse baricentrico, quantità che è stata per ipotesi ritenuta nulla nella precedente soluzione.



Per quanto riguarda la conservazione dell'energia cinetica, ovviamente anch'io l'ho usata ma in modo implicito (ipotizzando la conservazione del modulo delle velocità nei moti circolari). Dubito che ci sia un modo più semplice di usare questo principio nel caso in esame.


Non credo di essere stato molto chiaro, in ogni caso parliamone.
ciao a tutti :)

PS: mi sono accorto che avevo usato $ v $ invece che$ v_0 $ nel post precedente e l'ho corretto anche lì.
BMcKMas

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NEONEO
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Messaggio da NEONEO »

Aiuto... mi sa che ci vuole un bel resoconto da parte di chi ci ha capito di + cioè tu BM. Per favore riassumi le linee teoriche perchè risulta un pò difficile la tua spiegazione.
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BMcKmas
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Messaggio da BMcKmas »

NEONEO ha scritto:Aiuto... mi sa che ci vuole un bel resoconto da parte di chi ci ha capito di + cioè tu BM. Per favore riassumi le linee teoriche perchè risulta un pò difficile la tua spiegazione.
Già credo di scrivere risposte troppo lunghe di mio ... se poi queste non bastano!
Forse è meglio se mi fai domande specifiche e provo a risponderti.

ciao
BMcKMas

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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 »

Una domanda specifica potrebbe essere:
potresti postare la tua risoluzione del problema per intero anzicchè farci vedere solo i tuoi risultati?
Grazie.
Inoltre, rivolta a tutti: come pensate di scrivere l'equazione della traiettoria sul piano, ultimo quesito del problema?
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BMcKmas
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Messaggio da BMcKmas »

Gauss_87 ha scritto:Una domanda specifica potrebbe essere:
potresti postare la tua risoluzione del problema per intero anzicchè farci vedere solo i tuoi risultati?
Grazie.
Inoltre, rivolta a tutti: come pensate di scrivere l'equazione della traiettoria sul piano, ultimo quesito del problema?
Scusa, ma è la soluzione del sistema lineare che ho scitto all'inizio!
A questo punto, veramente, non so cosa altro devo scrivere.
Fammi capire!

Per quanto riguarda le traiettorie, una volta stabilito che sono circolari e sono stati individuati i centri (baricentro comune) e i raggi, cos'altro serve per definirle? La loro estressione analitica nel piano cartesiano non credo sia una richiesta all'altezza del tipo di problema (e di chi l'ha formulato).
La legge oraria non è determinabile in modo completo perchè nel testo è lasciato imprecisato il punto di partenza del treno.

ciao
BMcKMas

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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 »

BMcKmas ha scritto:
Gauss_87 ha scritto: Lo ben so! Ma adesso che aspetti a farci vedere la soluzione, se la sai fare, ... ???
Pensavo voleste risolverlo da soli!
Vi do qualche altro indizio:
supponiamo che il moto parta quando la locomotiva si trova in $ (R,0) $ e che la locomotiva sia diretta verso le $ y $ negative. Chiamo $ I $ l'impulso che si scambiano locomotiva e binario nel rilascio della molla (l'impulso è diretto come $ y $ perchè in direzione $ x $ non vi può essere moto relativo). Tale impulso è per il III principio diretto verso $ +y $ per il binario e verso $ -y $ per la locomotiva.
A moto iniziato, chiamo $ (V_x,V_y) $ la velocità (assoluta) del baricentro del binario (massa $ M $, raggio $ R $ ), $ \omega $ la velocita di rotazione angolare del binario (positiva se antioraria), $ (v_x,v_y) $ la velocità (assoluta) del treno (massa $ m $) e $ v_0 $ il modulo della velocità relativa del treno rispetto al binario.
Le equazioni significative sono:
$ MV_x=0 $ (impulso per il binario)
$ MV_y=I $ (impulso per il binario)
$ MR^2\omega=IR $ (momento dell'impulso per il binario)
$ mv_x=0 $ (impulso per la locomotiva)
$ mv_y=-I $ (impulso per la locomotiva)
$ v_0=V_y+\omega R-v_y $ (cinematica del moto relativo)

A questo punto ve lo lascio da verificare e da completare.
Questo qui???
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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 »

BMcKMas, quanto vale la $ \omega $ per come la intendi te?
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BMcKmas
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Messaggio da BMcKmas »

Gauss_87 ha scritto:
Questo qui???
Proprio lui
BMcKMas

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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 »

scusa se continuo a fare domande ed a essere perplesso ma ciò dipende on da una tua soluzione sbagliata ma solo dalla mia ignoranza.
Ti chiedo:
1 - quale delle tue equazioni ricalca il fatto che hai considerato i binari come un corpo rigido?
2 - la velocità angolare omega è definita come una velocità tangenziale fratto un raggio: nel tuo sistema la tua omega a quale velocità e raggio di circonferenza si riferisce?
Grazie per la pazienza...
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BMcKmas
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Messaggio da BMcKmas »

Gauss_87 ha scritto:scusa se continuo a fare domande ed a essere perplesso ma ciò dipende on da una tua soluzione sbagliata ma solo dalla mia ignoranza.
...
Lascia stare l'ignoranza, siamo tutti qui per imparare qualcosa in modo divertente!
Se sapessimo tutto ......

...
Ti chiedo:
1 - quale delle tue equazioni ricalca il fatto che hai considerato i binari come un corpo rigido?
...
proprio l'equazione in cui compare omega. La velocità angolare non è definita per un punto materiale. Tale equazione esprime la relazione tra il momento delle forze applicate rispetto al baricentro e la variazione di momento della quantità di moto del moto del crpo rispetto al baricentro. Nel nostro caso la variazione di momento della quantità di moto (prodotto del momento d'inerzia di massa $ MR^2 $ rispetto all'asse baricentrico per la velocità angolare dopo la partenza $ \omega $ ) è uguale al momento dell'impuso applicato $ IR $ .

...
2 - la velocità angolare omega è definita come una velocità tangenziale fratto un raggio: nel tuo sistema la tua omega a quale velocità e raggio di circonferenza si riferisce?
Grazie per la pazienza...
Per un corpo rigido nel piano, in un dato istante, la velocità angolare è indipendente dal punto in cui la calcoli. Prendi una qualunque retta solidale al corpo in movimento, considera la sua variazione di direzione e dividi per il tempo in cui avviene la variazione (al limite per tempo piccoli) ottieni la velocità angolare $ \omega $ . Il valore è lo stesso per qualunque retta del corpo. Se così non fosse il corpo non sarebbe rigido.
Quindi non c'è alcuna necessità di definire una specifica retta o segmento, quello che conta è il significato di velocità angolare, prova a pensarci un po', non è proprio così intuitivo la prima volta!

ciao

PS non perdo la pazienza così facilmente quindi .....
BMcKMas

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