Ecco 4 dei problemi:
-Un punto materiale soggetto solo alla forza gravitazionale orbita intorno ad un oggetto di massa molto superiore, inizialmente su un' orbita circolare con periodo T. Esso viene improvvisamente arrestato e lasciato cadere. Dimostrare che il tempo necessario per la collisione è T/4√2
-Dare una stima del raggio r dell'atomo di idrogeno assumendo circolare l'orbita dell'elettrone e un potenziale puramente coulombiano, e utilizzando la condizione fornita dal principio di indeterminazione pr≥h (p è la quantità di moto dell'elettrone). Si conoscono la massa m e la carica "e" dell'elettrone, la costante dielettrica del vuoto e la costante h.
-Una scatola è dotata di due morsetti e un commutatore con il quale si può selezionare la resistenza elettrica presente tra i morsetti, scegliendola tra un valore noto Ro e un altro valore ignoto (ma costante) R. Con una pila di resistenza interna Rint e un voltmetro ideale, come è possibile misurare R?
-Un gas monoatomico ideale scorre all'interno di un lungo tubo di sezione costante A. Nel primo tratto del tubo la velocità di scorrimento del gas è v, la sua temperatura è T e la densità ρ.Nel mezzo del tubo vi è un dispositivo solidale col tubo che cede al gas una potenza W. Nel tratto finale del tubo la velocità di scorrimento del tubo è v' (con 0<v'-v«v) la sua temperatura T' e la sua densità ρ'. Assumendo la pressione P costante in tutto il tubo, determinare la forza di reazione risultante sul tubo in funzione di W, v, ρ e P.
Ammissione sns 2005/2006
Soluzione mia del primo problema, se volete confrontarla con la vostra (e se magari la vostra usa gli integrali potrebbe essere migliore della mia...):
Considero la caduta come un orbita di eccentricità uno e r=R/2, dove R era il raggio dell'orbita circolare.Il tempo per la collisione tau sarà metà del periodo di tale orbita.
Per keplero posso scrivere: T^2/R^3=(tau*2)^2/(R/2)^3
cioè: tau=T/4√2
Qualcuno mi può postare una soluzione di quello del raggio di bohr che la mia è così semplice che mi puzza di sbagliato...
Considero la caduta come un orbita di eccentricità uno e r=R/2, dove R era il raggio dell'orbita circolare.Il tempo per la collisione tau sarà metà del periodo di tale orbita.
Per keplero posso scrivere: T^2/R^3=(tau*2)^2/(R/2)^3
cioè: tau=T/4√2
Qualcuno mi può postare una soluzione di quello del raggio di bohr che la mia è così semplice che mi puzza di sbagliato...
Ah, gli altri due problemi:
Ho una pentola contenente 7 litri d'acqua, la metto sopra un fornellino che eroga 100W di potenza; a causa delle perdite termiche l'acqua non va oltre i 91°C. Spengo il fornello. Quanto ci vuole perchè la temperatura scenda di un grado? (1 cal = 4,1868J)
Ho una rotaia circolare di raggio R e massa M, su cui transita una locomotiva giocattolo di massa m alla velocità Vo relativa alla rotaia. La rotaia non è vincolata al piano d'appoggio, ed è libera di muoversi senza attrito. qual'è il moto della locomotiva rispetto ad un osservatore esterno? si discuta il caso m>>M (e si spieghi perchè può sembrare irrealistico) e M>>m.
Ho una pentola contenente 7 litri d'acqua, la metto sopra un fornellino che eroga 100W di potenza; a causa delle perdite termiche l'acqua non va oltre i 91°C. Spengo il fornello. Quanto ci vuole perchè la temperatura scenda di un grado? (1 cal = 4,1868J)
Ho una rotaia circolare di raggio R e massa M, su cui transita una locomotiva giocattolo di massa m alla velocità Vo relativa alla rotaia. La rotaia non è vincolata al piano d'appoggio, ed è libera di muoversi senza attrito. qual'è il moto della locomotiva rispetto ad un osservatore esterno? si discuta il caso m>>M (e si spieghi perchè può sembrare irrealistico) e M>>m.
uhm..
io ho provato a fare il 6, e la mia "soluzione" è sembrata plausibile ad un fisico, un chimico ed un liceale... (se non va, prendetevela anche con loro, e col fatto che io queste cose non le vedo da un anno
)
dunque, consideriamo una massetta $ dm $ di gas, prima e dopo il dispositivo; per comodità, supponiamo che occupi un volume $ dV $ e $ dV' $, e che questi volumi siano due prismini la cui base è una sezione del tubo (quindi di area $ A $) e lunghezze $ dl $ e $ dl' $, e sia ...
quello che noi si vuole trovare è $ \displaystyle F = \dot{q} = \frac{dm}{dt}\cdot\Delta v = \frac{dm}{dt}\cdot (v' - v) $.
ora.. $ dm = dm' $ (perché stiamo considerando una stessa massa prima e dopo il dispositivo), quindi $ dV \rho = dV' \rho ' $, ma allora $ Adl \rho = Adl' \rho ' $, e dividendo per $ dt $ si ottiene $ v \rho = v' \rho ' $ (credo che si chiami equazione di continuità, o qualcosa di vagamente simile).
scriviamo ora l'equazione di stato (il gas è in movimento, però è un gas perfetto, non ci sono delle turbolenze strane, quindi funge tutto bene): $ pdV = dnRT $ e $ pdV' = dn RT' $, cioè $ \rho T = \rho 'T' $, quindi $ \displaystyle \frac{v}{v'} = \frac{T}{T'} $.
adesso, scriviamo $ dm = m_A N_A dn $, dove $ m_A, N_A $ sono rispettivamente la massa atomica ed il numero di Avogadro.
dall'equazione di stato, poi, ricaviamo: $ \displaystyle dn RT = p dV = p dn \frac{N_A m_A}{\rho} $, cioè $ \displaystyle N_A m_A = \frac{RT\rho}{p } $, che possiamo anche scrivere $ \displaystyle \frac{1}{N_A m_A} = \frac{p}{RT\rho} $.
ora, consideriamo l'energia (cinetica + termica) $ dE, dE' $ del $ dm $ prima e dopo il dispositivo: $ d\Delta E = Wdt $ per definizione di potenza.
ma $ \displaystyle d\Delta E = \frac{dm}{2}(v'^2 - v^2) + \frac{5}{2}dnR(T' - T) $: la pressione è costante, e $ \displaystyle C_1^p = \frac52 R $ (calore specifico di una mole a pressione costante).
ma $ \displaystyle dn R = \frac{R}{N_A m_A}dm = \frac{p}{\rho T}dm $.
ora, simpatica considerazione: poiché $ v<v'\ll2v $, $ v+v' \simeq 2v $.
quindi $ \displaystyle W = \frac{d\Delta E}{dt} = \frac{dm}{dt}(v'-v)v + \frac{5}{2}\frac{p}{\rho}\left(\frac{T'}{T}-1\right)\frac{dm}{dt} $.
ma $ \displaystyle \left(\frac{T'}{T} - 1\right) = \left(\frac{v'}{v} - 1\right) = \frac{v'-v}{v} $.
quindi $ \displaystyle W = \left(v+\frac{5}{2}\frac{p}{\rho v}\right)\left(\frac{dm}{dt}(v'-v)\right) = \left(v+\frac{5}{2}\frac{p}{\rho v}\right)F $, quindi $ \displaystyle F = \frac{W}{\displaystyle{v + \frac{5}{2}\frac{p}{\rho v}}} $.
la cosa è anche abbastanza plausibile, nel senso che aumentando la potenza aumenta la forza, aumentando la velocità (oltre un certo valore) o la densità aumenta anche la forza...
si prega di segnalare cazzate.
io ho provato a fare il 6, e la mia "soluzione" è sembrata plausibile ad un fisico, un chimico ed un liceale... (se non va, prendetevela anche con loro, e col fatto che io queste cose non le vedo da un anno
)dunque, consideriamo una massetta $ dm $ di gas, prima e dopo il dispositivo; per comodità, supponiamo che occupi un volume $ dV $ e $ dV' $, e che questi volumi siano due prismini la cui base è una sezione del tubo (quindi di area $ A $) e lunghezze $ dl $ e $ dl' $, e sia ...
quello che noi si vuole trovare è $ \displaystyle F = \dot{q} = \frac{dm}{dt}\cdot\Delta v = \frac{dm}{dt}\cdot (v' - v) $.
ora.. $ dm = dm' $ (perché stiamo considerando una stessa massa prima e dopo il dispositivo), quindi $ dV \rho = dV' \rho ' $, ma allora $ Adl \rho = Adl' \rho ' $, e dividendo per $ dt $ si ottiene $ v \rho = v' \rho ' $ (credo che si chiami equazione di continuità, o qualcosa di vagamente simile).
scriviamo ora l'equazione di stato (il gas è in movimento, però è un gas perfetto, non ci sono delle turbolenze strane, quindi funge tutto bene): $ pdV = dnRT $ e $ pdV' = dn RT' $, cioè $ \rho T = \rho 'T' $, quindi $ \displaystyle \frac{v}{v'} = \frac{T}{T'} $.
adesso, scriviamo $ dm = m_A N_A dn $, dove $ m_A, N_A $ sono rispettivamente la massa atomica ed il numero di Avogadro.
dall'equazione di stato, poi, ricaviamo: $ \displaystyle dn RT = p dV = p dn \frac{N_A m_A}{\rho} $, cioè $ \displaystyle N_A m_A = \frac{RT\rho}{p } $, che possiamo anche scrivere $ \displaystyle \frac{1}{N_A m_A} = \frac{p}{RT\rho} $.
ora, consideriamo l'energia (cinetica + termica) $ dE, dE' $ del $ dm $ prima e dopo il dispositivo: $ d\Delta E = Wdt $ per definizione di potenza.
ma $ \displaystyle d\Delta E = \frac{dm}{2}(v'^2 - v^2) + \frac{5}{2}dnR(T' - T) $: la pressione è costante, e $ \displaystyle C_1^p = \frac52 R $ (calore specifico di una mole a pressione costante).
ma $ \displaystyle dn R = \frac{R}{N_A m_A}dm = \frac{p}{\rho T}dm $.
ora, simpatica considerazione: poiché $ v<v'\ll2v $, $ v+v' \simeq 2v $.
quindi $ \displaystyle W = \frac{d\Delta E}{dt} = \frac{dm}{dt}(v'-v)v + \frac{5}{2}\frac{p}{\rho}\left(\frac{T'}{T}-1\right)\frac{dm}{dt} $.
ma $ \displaystyle \left(\frac{T'}{T} - 1\right) = \left(\frac{v'}{v} - 1\right) = \frac{v'-v}{v} $.
quindi $ \displaystyle W = \left(v+\frac{5}{2}\frac{p}{\rho v}\right)\left(\frac{dm}{dt}(v'-v)\right) = \left(v+\frac{5}{2}\frac{p}{\rho v}\right)F $, quindi $ \displaystyle F = \frac{W}{\displaystyle{v + \frac{5}{2}\frac{p}{\rho v}}} $.
la cosa è anche abbastanza plausibile, nel senso che aumentando la potenza aumenta la forza, aumentando la velocità (oltre un certo valore) o la densità aumenta anche la forza...
si prega di segnalare cazzate.
Scusatemi per la mia completa ignoranza del TeX.La soluzione è quella che ho elaborato durante la prova. Sentitevi liberi di fustigarmi, massacrarmi o demolirmi moralmente per qualsiasi cazzata che possa contenere.
Io per prima cosa ricavo l'equazione (ρ)v=(ρ')v', dove ρ è nella mia barbara notazione la densità.
Poi considero una "sezione" del tubo lunga l, che avrà massa lAρ e quantità di moto q=lAρv
Questo gas per passare attraverso il dispositivo impiega un tempo t = l/v, riceverà quindi una quantità di calore Q=Wt
Per i soliti principi della termodinamica dovremmo avere U=Q-L , dove U=(5/2)nR(T'-T) , in quanto si tratta di un'espansione isobara di gas monoatomico ideale; L=P(V'-V) (sempre considerando il mio segmento di gas). Però per la legge dei gas perfetti posso scrivere P(V'-V)=nR(T'-T). Quindi L=nR(T'-T). Posso infine scrivere Q=U+L=(7/2)nR(T'-T)=(7/2)P(V-V')
Considero la mia "sezione" di gas, che dopo essere passata per il tubo ha lunghezza l'=(l+dl), ricordando che dl*A=(V'-V)
Questa sezione ha ora quantità di moto q'=l'Aρ'v'=l'Aρv=lAρv+dlAρv=q+(ρv)(2Q)/(7P)
Pertanto ricavo la differenza di quantità di moto dq=(ρv)(2Q)/(7P)=(ρv)(2Wt)/(7P)
Infine, la forza vale dq/t=(ρv)(2W)/(7P)=(2ρvW)/(7P)
Almeno la dimensione è corretta.
So che questa soluzione non usa il fatto che v' è poco più grande di v, ma lo stesso spero che frutti qualche punticino...
Mi sono anche accorto che la mia considerazione sul lavoro è discutibile e che non tengo conto che il dispositivo fornisce anche energia cinetica al gas...qualcuno mi può spiegare nei dettagli quale dei miei assunti è sbagliato?
Io per prima cosa ricavo l'equazione (ρ)v=(ρ')v', dove ρ è nella mia barbara notazione la densità.
Poi considero una "sezione" del tubo lunga l, che avrà massa lAρ e quantità di moto q=lAρv
Questo gas per passare attraverso il dispositivo impiega un tempo t = l/v, riceverà quindi una quantità di calore Q=Wt
Per i soliti principi della termodinamica dovremmo avere U=Q-L , dove U=(5/2)nR(T'-T) , in quanto si tratta di un'espansione isobara di gas monoatomico ideale; L=P(V'-V) (sempre considerando il mio segmento di gas). Però per la legge dei gas perfetti posso scrivere P(V'-V)=nR(T'-T). Quindi L=nR(T'-T). Posso infine scrivere Q=U+L=(7/2)nR(T'-T)=(7/2)P(V-V')
Considero la mia "sezione" di gas, che dopo essere passata per il tubo ha lunghezza l'=(l+dl), ricordando che dl*A=(V'-V)
Questa sezione ha ora quantità di moto q'=l'Aρ'v'=l'Aρv=lAρv+dlAρv=q+(ρv)(2Q)/(7P)
Pertanto ricavo la differenza di quantità di moto dq=(ρv)(2Q)/(7P)=(ρv)(2Wt)/(7P)
Infine, la forza vale dq/t=(ρv)(2W)/(7P)=(2ρvW)/(7P)
Almeno la dimensione è corretta.
So che questa soluzione non usa il fatto che v' è poco più grande di v, ma lo stesso spero che frutti qualche punticino...
Mi sono anche accorto che la mia considerazione sul lavoro è discutibile e che non tengo conto che il dispositivo fornisce anche energia cinetica al gas...qualcuno mi può spiegare nei dettagli quale dei miei assunti è sbagliato?