Un cavo teso orizzontalmente da un peso $ P $ in $ B $ e sollecitato verticalmente
vicino ad $ A $ diventa sede di un’onda elastica che si propaga con
velocità $ v $ lungo il cavo stesso. Il peso della corda è piccolo rispetto a $ P $,
così come è piccolo lo spostamento verticale rispetto al segmento $ AB $.
(a) La velocità $ v $ dipende da $ P $ e dalla densità per unità di lunghezza $ \mu $
del cavo. Come?
(b) Si supponga ora il cavo composto di due pezzi di metalli diversi di
densit`a $ \mu_1 $ e $ \mu_2 $ e lunghezze $ l_1 $ e $ l_2 $, giuntati in $ C $, e che la perturbazione
della corda sia sinusoidale con periodo $ T $. Quale condizione
deve essere soddisfatta affinchè possa stabilirsi nella corda un’onda
stazionaria con nodi in $ A, B $ e $ C $?
(c) Qual è la minima frequenza alla quale si osserva l’onda
stazionaria?
(d) In questo caso, quanti nodi si osservano sulla corda, inclusi $ A, C $ e
$ B $?
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Onde stazionarie (Normale 1999-2000)
Ci sono due modi per provare che la velocita' nella corda oscillante e'
$ v=\sqrt{\frac{P}{\mu}} $
La frequenza di un'onda stazionaria e'
$ f=n\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{P}{\mu}} $
dove $ n=1,2,3, $.... e l e' la lunghezza della corda.
Se si hanno due corde unite, la frequenza di un'onda stazionaria su entrambe i pezzi di corda (uniti), deve essere un multiplo delle frequenze stazionarie che si avrebbero se i due pezzi di corda fossero separati. Ovvero:
sia $ f'=\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{P}{\mu_1}} $ e $ f''=\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{P}{\mu_2}} $,
allora, per avere un onda stazionaria sulla corda $ l_1+l_2 $ si deve avere
$ F=nf'=mf'' $ *
dove n e m sono interi positivi diversi da zero.
Se prendi per esempio $ F=nf' $ ma $ F\neq mf'' $
allora non credo che si avra' un'onda stazionaria ne' sulla prima corda (il punto in cui sono unite non e' fisso) ne' sulla seconda (F non e' un multiplo di f'').
Per cui la minima frequenza dovrebbe essere, se la condizione * e' rispettata, il max tra $ f' $ e $ f'' $.
Questo e' cio' che penso riguardo questo problema. C'e' una soluzione diversa per gli ultimi due punti?
$ v=\sqrt{\frac{P}{\mu}} $
La frequenza di un'onda stazionaria e'
$ f=n\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{P}{\mu}} $
dove $ n=1,2,3, $.... e l e' la lunghezza della corda.
Se si hanno due corde unite, la frequenza di un'onda stazionaria su entrambe i pezzi di corda (uniti), deve essere un multiplo delle frequenze stazionarie che si avrebbero se i due pezzi di corda fossero separati. Ovvero:
sia $ f'=\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{P}{\mu_1}} $ e $ f''=\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{P}{\mu_2}} $,
allora, per avere un onda stazionaria sulla corda $ l_1+l_2 $ si deve avere
$ F=nf'=mf'' $ *
dove n e m sono interi positivi diversi da zero.
Se prendi per esempio $ F=nf' $ ma $ F\neq mf'' $
allora non credo che si avra' un'onda stazionaria ne' sulla prima corda (il punto in cui sono unite non e' fisso) ne' sulla seconda (F non e' un multiplo di f'').
Per cui la minima frequenza dovrebbe essere, se la condizione * e' rispettata, il max tra $ f' $ e $ f'' $.
Questo e' cio' che penso riguardo questo problema. C'e' una soluzione diversa per gli ultimi due punti?
a suo tempo l'avevo risolto (almeno credo) e postato su questo forum. Se cercate nei vecchi post c'è di sicuro. Purtroppo il motore ora non funziona...
Quando lo trovate ditemelo, così gli do un'occhiata e vedo quante troiate avevo scritto^^
Quando lo trovate ditemelo, così gli do un'occhiata e vedo quante troiate avevo scritto^^
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
ah non ne ho idea^^ non mi ricordo come l'avevo fatto. Il risultato mi pare coincida col tuo... una frequenza deve essere un multiplo razionale dell'altra. Comuqneu rispondevo a mark, che si chiedeva come mai nessuno lo risolve 
mi piacerebbe ritrovare quel post... attendo che il motore di ricerca riprenda a funzionare... cmq non hai detto quanti nodi si formano
mi piacerebbe ritrovare quel post... attendo che il motore di ricerca riprenda a funzionare... cmq non hai detto quanti nodi si formano
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
Il numero di nodi che si forma credo proprio siano 2 (+ i due nodi alle due estremita'). Questo perche' se si parte dall'ipotesi che $ \mu_1\neq\mu_2 $ ed $ l_1\neq l_2 $, allora se per esempio $ f'>f'' $ cioe' $ f''=mf' $ con m intero, la frequenza dell'intera corda sara' $ F=f' $. Ora di sicuro per la corda $ l_1 $ si avranno 0 nodi perche' sara' la frequenza fondamentale $ F=f'=\frac{1}{2l_1}\sqrt{\frac{P}{\mu_1}} $ per la corda $ l_2 $, $ F $ non puo' essere quella fondamentale ma avra' come minimo numero di nodi 1 (o + di uno) cioe' la prima armonica con un nodo al centro di $ l_2 $. Quindi in totale il numero minimo di nodi e' 2 e cioe' il punto d'unione tra le due corde e il nodo della prima armonica per $ l_2 $.
Vorrei fare un po' di chiarezza
Si ha $ \displaystyle v = \sqrt{\frac{P}{\mu}} $ con dimostrazione già postata.
Le frequenze nei due tratti sono:
$ \displaystyle f_1 = \frac{1}{2l_1} \sqrt{\frac{P}{\mu_1}} $
e analogamente $ f_2 $.
La condizione affinchè si formi un'Onda Stazionaria su $ l $ è:
$ F = n f_1 = m f_2 $ con $ n,m \in \mathbb{Z}^+ $.
Si può calcolare il rapporto:
$ \diplaystyle \frac{n}{m} = \frac{l_1}{l_2} \frac{\sqrt{\mu_1}}{\sqrt{\mu_2}} $
Ora chiedo, se $ \displaystyle l_1 \sqrt{\mu_1} = l_2 \sqrt{\mu_2} \Rightarrow \frac{n}{m} = 1 \Rightarrow f_1 = f_2 $, allora quanti nodi si formano, compresi A e B
Si ha $ \displaystyle v = \sqrt{\frac{P}{\mu}} $ con dimostrazione già postata.
Le frequenze nei due tratti sono:
$ \displaystyle f_1 = \frac{1}{2l_1} \sqrt{\frac{P}{\mu_1}} $
e analogamente $ f_2 $.
La condizione affinchè si formi un'Onda Stazionaria su $ l $ è:
$ F = n f_1 = m f_2 $ con $ n,m \in \mathbb{Z}^+ $.
Si può calcolare il rapporto:
$ \diplaystyle \frac{n}{m} = \frac{l_1}{l_2} \frac{\sqrt{\mu_1}}{\sqrt{\mu_2}} $
Ora chiedo, se $ \displaystyle l_1 \sqrt{\mu_1} = l_2 \sqrt{\mu_2} \Rightarrow \frac{n}{m} = 1 \Rightarrow f_1 = f_2 $, allora quanti nodi si formano, compresi A e B
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza