Due cilindri a contatto (Normale 1994/95)
Inviato: 12 lug 2005, 23:27
Due cilindri uniformi ruotano indipendentemente intorno ai loro assi. Indichiamo
con $ R_1 $, $ M_1 $ ed $ R_2 $, $ M_2 $ raggio e massa dei due cilindri. Supponiamo poi che i due assi di rotazione siano paralleli e che la rotazione avvenga nello stesso senso con velocità angolari $ \omega_1 $ e $ \omega_2 $ rispettivamente.I due cilindri vengono quindi spostati fino a farli accostare e i loro assi sono mantenuti nella posizione schematizzata in figura. In questa posizione, essi sono liberi di ruotare intorno al proprio asse e rotolano senza strisciare lungo una tangente. Si calcoli la velocità angolare finale di ogni cilindro.
Non sono molto sicuro della mia soluzione la posto per sapere che ne pensate (mi sembra troppo immediata e semplice e non sono sicuro di alcune cose... ma comunque)
SOLUZIONE
Dal momento che i due cilindri rotolano senza strisciare allora essi avranno una velocità angolare finale $ \omega_m $ intermedia fra $ \omega_1 $ e $ \omega_2 $, questo perchè nel punto di incontro i cilindri ruotano in senso opposto e in un certo senso si "frenano" a vicenda (in realtà non avviene dissipazione di energia perchè rotolano senza strisciare, forse occorrerebbe immaginare che ad un cero punto siano legati come delle ruote dentate ma senza attrito e perciò hanno la stessa velocità angolare). Nel sistema si conserva il momento angolare (almeno spero) e credo che questa conservazione si scriva così: detti $ I_1 $ e $ I_2 $ i rispettivi momenti d'inerzia dei due cilindri, avremo
$ I_1\omega_1+I_2\omega_2=(I_1+I_2)\omega_m $ e cioè
$ \omega_m=\frac{I_1\omega_1+I_2\omega_2}{I_1+I_2}=\frac{M_1R_1^2\omega_1+M_2R_2^2\omega_2}{M_1R_1^2+M_2R_2^2} $.
Si nota che se i due cilindri hanno stessa massa e stesso raggio allora la velocità angolare finale diventa quella media, come è normale che ci si aspetti.
Finito....... che mi dite?????Sono corbellerie oppure no?
con $ R_1 $, $ M_1 $ ed $ R_2 $, $ M_2 $ raggio e massa dei due cilindri. Supponiamo poi che i due assi di rotazione siano paralleli e che la rotazione avvenga nello stesso senso con velocità angolari $ \omega_1 $ e $ \omega_2 $ rispettivamente.I due cilindri vengono quindi spostati fino a farli accostare e i loro assi sono mantenuti nella posizione schematizzata in figura. In questa posizione, essi sono liberi di ruotare intorno al proprio asse e rotolano senza strisciare lungo una tangente. Si calcoli la velocità angolare finale di ogni cilindro.
Non sono molto sicuro della mia soluzione la posto per sapere che ne pensate (mi sembra troppo immediata e semplice e non sono sicuro di alcune cose... ma comunque)
SOLUZIONE
Dal momento che i due cilindri rotolano senza strisciare allora essi avranno una velocità angolare finale $ \omega_m $ intermedia fra $ \omega_1 $ e $ \omega_2 $, questo perchè nel punto di incontro i cilindri ruotano in senso opposto e in un certo senso si "frenano" a vicenda (in realtà non avviene dissipazione di energia perchè rotolano senza strisciare, forse occorrerebbe immaginare che ad un cero punto siano legati come delle ruote dentate ma senza attrito e perciò hanno la stessa velocità angolare). Nel sistema si conserva il momento angolare (almeno spero) e credo che questa conservazione si scriva così: detti $ I_1 $ e $ I_2 $ i rispettivi momenti d'inerzia dei due cilindri, avremo
$ I_1\omega_1+I_2\omega_2=(I_1+I_2)\omega_m $ e cioè
$ \omega_m=\frac{I_1\omega_1+I_2\omega_2}{I_1+I_2}=\frac{M_1R_1^2\omega_1+M_2R_2^2\omega_2}{M_1R_1^2+M_2R_2^2} $.
Si nota che se i due cilindri hanno stessa massa e stesso raggio allora la velocità angolare finale diventa quella media, come è normale che ci si aspetti.
Finito....... che mi dite?????Sono corbellerie oppure no?