Cariche sulla circonferenza

[shuzz]

Su una circonferenza si dispongono n cariche di modulo uguale e di segno alternato, cioè dopo una positiva se ne trova una negativa, in modo tale che se n è pari non si troveranno mai due cariche dello stesso segno vicine, se n è dispari sì. La distanza tra una carica ed un'altra è sempre uguale (quindi le cariche si trovano ai vertici di figure regolari). Al centro della sfera è posta una carica Q. Trvare la forza esercitata dalle cariche su Q.

[hexen]

le cariche sulla circonferenza sono uguali in valore assoluto?
la circonferenza serve solo per la disposizione oppure vincola in qualche modo il moto delle cariche? (tipo non si puù uscire dal cerchio o che le cariche pososno muoversi solo sulla circonf)

[shuzz]

in valore assoluto le cariche sono uguali. le posizioni sulla circonferenza sono fisse quinde le cariche non si possono muovere.

[hexen]

quindi l'unica che si muove è quella centrale. Il suo valore assoluto è uguale a quello delle altre?

[shuzz]

Non si muove neanche quella centrale, è una situazione statica. Anche quella centrale ha lo stesso valore delle altre cariche.

[hexen]

quella libera di muoversi... ovvio che in caso di equilibrio è appunto equilibrio

[info]

Allora, per i calcoli di questo problema si faccia riferimento alle OTTIME dissertazioni di karl e Simo_the_wolf sul topic “somme invarianti”, forum di geometria…

Distinguo 3 casi e scrivo i risultati che ho ottenuto per 2 dei 3 (l’altro è analogo ad uno dei 2):

(1) 4 divide n;
(2) n è dispari;
(3) 4 non divide n;

Si disegni innanzitutto la figura in un SR cartesiano con centro nel cerchio circoscritto e con un vertice giacente nella parte positiva dell’asse delle ascisse, chiamato A0. Si numerino quindi i vertici in senso orario A1,A2,A3,…, An-1…. La carica A1 sia del medesimo segno di Q e i segni delle cariche si scrivano di modo che A1 ed A0 siano le cariche di modulo uguale…

Caso (1)

Si verifica che le cariche si possono dividere in coppie giacenti sul medesimo diametro ed il segno delle cariche è il medesimo in ogni coppia. Ogni coppia fornisce una forza nulla e quindi la forza totale su Q è nulla…

Caso (2)

Chiamo F = Ko * Q*q / r^2

Ottengo la forza per componenti. Innanzitutto quello verticale. Suppongo che la carica A1 sia del medesimo segno della carica Q (altrimenti si deve mettere un segno meno davanti a tutto: Gorgia docet J ). La forza verticale totale è:

F * Sum[k=0->(n-1)] (-1)^k * sen ( 2pi /n *k)

Ora entra in gioco la formula del post di karl e Simo_the_wolf… Rimaneggiandola un pò ( o copiando i procedimenti dimostratici, ma è una fatica inutile!) si trova una formula per la sommatoria di seni… Per sbarazzarsi del segno (quel (-1)^k dà fastidio!) si può dividere la sommatoria in 2 e rimaneggiare gli indici in modo da ottenere due sommatorie di termini solo positivi che poi verranno sottratte…

Io ho ottenuto come risultato ( l’ho verificato per n=5 ): [attenti alle parentesi]


{F/ sen (2*pi/n)} * { sen [(n-1) * pi / n] * [ sen[(n-3) * pi / n + 2 * pi /n] – sen[(n+1) * pi /n] ] }


e quella roba mostruosa sarebbe il componente verticale della forza in funzione di n espresso in forma chiusa… quello orizzontale invece è più facile dato che si possono accoppiare n-1 vertici che forniscono forze orizzontali opposte… Rimane solo la forza dovuta ad A0, pari a F….

Conoscendo i due componenti sappiamo la forza totale agente (consideriamo le cariche su una circonferenza, non su una sfera)…

Caso (3)

Immagino ci siano calcoli simili al caso 2… ma non mi azzardo a farli…

bah... sbaglio qualcosa?