Elettroni sulla sfera

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Franchifis
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Elettroni sulla sfera

Messaggio da Franchifis » 28 mag 2005, 22:51

Questo dubbio mi assilla da parecchio: se metto 7 elettroni su una sfera metallica elettricamente neutra (per esempio per contatto con un corpo carico), come si andranno a disporre sulla superfice?
Da 1 a 6 elettroni il caso e' semplice, ma con 7 non lo so. Con 8 elettroni e' facile, ma con 9? Esiste un metodo generale per n elettroni?

Huxeley
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Messaggio da Huxeley » 02 giu 2005, 13:34

Ehm tu dici da uno a sei è semplice. Beato te!
Vediamo da uno a tre è semplice perché per tre punti passa sempre un piano. Nel caso quattro e nei successivi credo che si possano presentare sempre almeno due casi il caso piano e quello spaziale
Nel caso piano gli elettroni andranno a depositarsi ai vertici di un poligono regolare. Al limite per infiniti elettroni, questi andranno a depositarsi su una circonferenza massima. Tuttavia se un elettrone si sposta di un tratto infinitesimo dalla circonferenza esso sarà respinto dagli altri elettroni verso un’altra posizione e non attratto verso la posizione di prima. L’equilibrio è quindi instabile. Lo stesso credo che avvenga nel caso di un numero finito di elettroni.
Torniamo al caso 4. Escludendo il caso piano ove gli elettroni si dispongono ai vertici di un quadrato è possibile che si dispongano ai vertici di un tetraedro regolare (piramide a base triangolare inscritta nella sfera). In ogni vertice agiscono tre forze dello stesso modulo e direzioni diverse.
Si dovrebbe dimostrare che la loro risultante è perpendicolare alla superficie sferica in quel vertice.
Sono possibili altri casi spaziali? Si deve cioè dimostrare che l’equilibrio non è possibile con un tetraedro non regolare.
Nel caso 6 elettroni, essi si possono disporre ai vertici del ottaedro regolare inscritto nella sfera.
Nel caso 8 elettroni, essi si possono disporre ai vertici del cubo inscritto nella sfera.
Nel caso 12 elettroni, essi si possono disporre ai vertici dell’icosaedro regolare inscritto nella sfera
Nel caso 20 elettroni, essi si possono disporre ai vertici del dodecaedro regolare inscritto nella sfera
Nel caso di 5, 7, 9,10,11,13,14,15,16.17,18,19 elettroni la cosa si complica perché non esistono poliedri regolari con 5, 7, 9,10,11,13,14,15,16.17,18,19 vertici. Lo stesso avviene per un qualsiasi numero di elettroni superiore a 20.
I poliedri regolari sono solo 5 ma poiché possiamo certamente depositare certamente un qualsiasi numero di elettroni sulla sfera, essi no possono essere vertici di poliedri regolari.
Tu dici che per 5 elettroni è facile, ma come vedi per me non lo è, anzi è complicato già per 4.
In generale possiamo dire che,detti P1,P2………………………… i punti della sfera ove n elettroni si depositano, in termini vettoriali, nel punto Pi agiscono n-1 delle forze F j =K e(Pi –Pj)/ |Pi –Pj)| con j ≠i. Per l’equilibrio Il vettore Σ F j= K eΣ(Pi –Pj)/ |Pi –Pj)| deve avere direzione perpendicolare alla sfera nel punto Pi .
Si ha grad(x+y+z)=2x i+2yJ+2zk (con i,j,k versori degli assi)
Il versore normale alla superficie sferica nel punto x,y,z è allora
U= (2x i+2yJ+2zk)/√( (4x+4y+4z)=(x i+yJ+zk)/√( (x+y+z) ove x,y,z soddisfano l’equazione x+y+z=r quindi U=)=(x i+yJ+zk)/r
In termini vettoriali
U=grad f /r
La condizione di equilibrio si traduce in
Σ F jXU=0 con X prodotto vettoriale
Cioè
Σ(Pi –Pj)/ |Pi –Pj)|X grad f /r=0 ove la somma è estesa per J=1,2,3,………i-1,1+1…………..n e grad f è calcolato in Pi . La r può essere eliminata onde Il sistema diviene

Σ(Pi –Pj)/ |Pi –Pj)|X grad f =0 con la somma estesa a J=1,2,3,………i-1,1+1…………..n. i=1,2,3,…………..n e grad f è calcolato in Pi

con f equazione della sfera e Pi ,Pj soddisfacenti la sua equazione. Per ogni punto ove è depositato un elettrone si può scrivere un’equazione come la precedente, quindi per n elettroni si hanno n equazioni vettoriali corrispondenti a 3n equazioni algebriche.
Un punto si trova sulla superficie sferica onde solo due sue coordinate sono libere, quindi ci sono 2n incognite. Poiché un punto può essere scelto a piacere le incognite sono 2n-2. Quindi 3n equazioni in
2n-2 incognite. Le equazioni sono più delle incognite. Troppa grazia dal cielo fa male!

Per n=2 si hanno 6 equazioni in 2 incognite ma le due equazioni coincidono e scelto P1(1,0,0) si trova facilmente P2(-1,0,0) cioè gli elettroni stanno in punti diametralmente opposti.
Per n più grandi iniziano le difficoltà pratiche di calcolo.

Huxeley
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Messaggio da Huxeley » 02 giu 2005, 17:22

Le equazioni precedenti con qualche calcolo possono essere scritte più convenientemente :
ΣPj/ (r-Pi*Pj)/X grad f =0 con * prodotto scalare e Xprodottp vettore r raggio della sfera

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Franchifis
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Messaggio da Franchifis » 03 giu 2005, 03:22

Grazie per la risposta :D. Comunque per 5 elettroni in effetti e' molto semplice perche' la teoria VSEPR ci dice che una molecola con ibridazione dell'atomo centrale $ sp^3d $ (che significa 5 orbitali uguali in tutto) e' bipiramidale a base triangolare e possiamo quindi dire che gli elettroni si disporranno cosi', ma per tutti gli altri casi non mi venivano in mente modi per trovare la disposizione spaziale. Magari pero' esistono strade non analitiche che risolvono il problema per alcuni n. Per esempio con 30 elettroni si avrebbe probabilmente una disposizione a "pallone da calcio" (insomma come nei carboni nella molecola del $ C_{30} $). O con 32 elettroni si avrebbe probabilmente una disposizione fatta mettendo 12 elettroni sui vertici di un icosaedro e gli altri venti sulle proiezioni sulla sfera dei centri di ogni faccia. Ma questo e' piu' che altro tirare ad indovinare.

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Marco
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Re: Elettroni sulla sfera

Messaggio da Marco » 03 giu 2005, 12:43

Franchifis ha scritto:se metto 7 elettroni su una sfera metallica elettricamente neutra (per esempio per contatto con un corpo carico), come si andranno a disporre sulla superfice?
Prendiamo le solite ipotesi ragionevoli (cariche puntiformi, ecc...). Una tecnica che permette di ridurre la complessità del problema è trovare la configurazione di energia minima (così non dobbiamo di preoccuparci di forze e di vettori normali). L'energia è la somma degli inversi delle distanze reciproche (mettete voi le costanti a piacere).

Quindi abbiamo ridotto il tutto al seguente problema di ottimizzazione:

$ $ \min U := \sum_{i \neq j}^7 \frac{1}{d_{ij}} $

Soggetto ai vincoli che i punti devono stare sulla sfera unitaria.

Ho dato il tutto in pasto ad una routine di ottimizzazione ed è saltata fuori una configurazione più o meno "a capanna": un vertice da solo, attorno quattro punti a formare una piramide a base quadra e infine due punti dalla parte opposta rispetto al vertice, la retta congiungente questi due ultimi, parallela a due lati opposti del quadrato di mezzo.

Ti posto le coordinate numeriche trovate dall'ottimizzatore, così, se sei in grado di farti un disegnetto in 3D puoi visualizzare la configurazione:


Pt X_ Y_ Z_

1 1.00000 0.00000 0.00000
2 0.25820 -0.95313 0.15772
3 -0.54582 0.83788 0.00691
4 -0.80526 -0.32119 0.49839
5 -0.47919 -0.42601 -0.76739
6 0.24191 0.34085 0.90846
7 0.31385 0.51818 -0.79560

(il vertice è 4, i punti lontani 1 e 7, gli altri nel quadrato di base)

Se poi sia una soluzione ottima globale, se sia unica ecc..., keine Ahnung.

Ciao. M.
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Huxeley
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Messaggio da Huxeley » 04 giu 2005, 09:05

Il metodo descritto da Marco è certo ottimo e applicabile facilmente a casi pratici per ogni valore di n anche se non soddisfa la curiosità intellettuale di risolvere il problema in modo matematicamente esatto. D’altra parte il problema posto da Franchifis era solo una curiosità intellettuale senza scopi applicativi inoltre esso si riferisce solo ad una trattazione classica cioè che escluda la meccanica quantistica. Scusami Franchifis non conosco la teoria VSEFR ma credo che tu la applichi solo per analogia perchè nel nostro caso gli elettroni sono liberi non vincolati ad alcun atomo e possono vagare liberamente sulla superficie sferica.Le cose a cui accenni necessitano di una trattazione quantistica molto complessa dal punto di vista matematico.
D’altra parte risolvere il problema dell’ottimizzazione di quella funzione in via matematica (trattazione classica) non è cosa da poco. Anzi porta a calcoli più complessi di quelli da me fatti. Non possiedo routine di ottimizzazione e mi piacerebbe averla per studiare l’evoluzione della questione al variare del numero di elettroni. Puoi inviarmela marco? Grazie. Io continuerò per tentare di risolvere o almeno di semplificare il sistema di equazioni trovato che non è difficile ma per n elevato porta a calcoli troppo lunghi.
Ultima modifica di Huxeley il 04 giu 2005, 09:20, modificato 1 volta in totale.

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 04 giu 2005, 09:17

Scusate l'intromissione, me ne vado subito, solo volevo ricordare a Huxeley che c'è un supporto latex su questo forum; i simboli che usi non sono a priori leggibili da tutti i browser e cmq una formula latex è sicuramente più bella da vedere e più comoda da leggere.
Se guardi nella sezione "Latex, questo sconosiuto" troverai parecchi esempi di formule (se ci posizioni sopra il cursore dovrebbe essere visibile il codice che le ha prodotte) e alcuni link a guide sull'argomento (tendenzialmente, The Not So Short Introduction to Latex, in cui nel capitolo 3 c'è un buon assortimento di simboli e scritture matematiche).
Buon Proseguimento.

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Marco
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Messaggio da Marco » 04 giu 2005, 18:44

Huxeley ha scritto:Non possiedo routine di ottimizzazione e mi piacerebbe averla per studiare l’evoluzione della questione al variare del numero di elettroni. Puoi inviarmela marco? Grazie. Io continuerò per tentare di risolvere o almeno di semplificare il sistema di equazioni trovato che non è difficile ma per n elevato porta a calcoli troppo lunghi.
Ehm... no, spiacente, non posso. Ho utilizzato delle procedure di un linguaggio che utilizzo abitualmente per lavoro (risoluzione numerica, roba statistica, e amenità del genere). Purtroppo si tratta di una piattaforma definitely non shareware e le cui licenze sono care arrabbiate. Comunque, se hai un quaunque programma serio di calcolo numerico (Mathematica, Maple, Matlab, ...) un motore per risolvere problemi del genere lo trovi senz'altro.

Beh, so anch'io che la soluzione per via numerica è poco soddisfacente dal punto di vista teorico. Però almeno avere una vaga idea di come possa essere fatta una soluzione in un caso particolare, può avere una sua piccola valenza.

Un saluto. M.
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Messaggio da LB » 04 giu 2005, 21:26

Il problema è noto come Thomson's problem ed è apparentemente aperto.

Huxeley
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Messaggio da Huxeley » 05 giu 2005, 07:57

un grazie ad Evariste a marco e principalmente ad LB che ha fatto capire come il problema sia di molto interesse e,comunque, aperto, non ancora risolto del tutto. Purtroppo non possiedo i testi di references riportati in mathworld ma cercherò di procurarmeli perchè io sono ad un punto morto. Il sistema trovato, anche se corretto, presenta forti difficoltà di soluzione pratica quando n supera tre per l'elevato numero di incognite in gioco.

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Paoloca
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Messaggio da Paoloca » 05 giu 2005, 09:21

Nel link si dice: "In reality, Earnshaw's theorem guarantees that no system of discrete electric charges can be held in stable equilibrium under the influence of their electrical interaction alone (Aspden 1987). "


Ma nel nostro caso gli elettroni sono "obbligati" a restare sulla sfera, il che non si può spiegare con la sola interazione elettrostatica.

Huxeley
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Messaggio da Huxeley » 05 giu 2005, 12:55

mi pareva di aver capito che quel teorema di Earnshaw si riferisse al fatto che, comunque, possono trovarsi le posizioni reciproche delle cariche ma non quelle assolute e che quindi l'equilibrio di tutto il sistema sulla sfera rimane indifferente. Ma.......... mi sembra una cosa talmente banale per chiamarlo teorema! Certo è che se poniamo questi benedetti elettroni sulla sfera da qualche parte andranno e ci rimarranno. A lume di naso io avevo dato la soluzione nel caso dei solidi platonici ma il naso non sempre fa buona luce inatti mi sbagliavo nel caso n=8 infatti
For eight points, the best dispersal is not the polyhedron vertices of the inscribed cube, but of a square antiprism with equal polyhedron edges.
Ultima modifica di Huxeley il 05 giu 2005, 13:58, modificato 2 volte in totale.

Huxeley
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Messaggio da Huxeley » 05 giu 2005, 13:56

:?:

rargh
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Messaggio da rargh » 05 giu 2005, 15:26

Ci sarebbero anche soluzioni di equilibrio non stabile, per esempio per n=8 un ottagono regolare inscritto nella sfera. Per simmetria le risultanti delle forze sono tutte lungo il raggio e quindi ortogonali alla superficie

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Franchifis
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Messaggio da Franchifis » 05 giu 2005, 22:56

Chi l'avrebbe immaginato che si tratta di un problema aperto! Detta cosi' sembra una curiosita' risolvibile con qualche calcolo. Ma allora le tecniche Huxeley e Marco non funzionano per 9 e 11 elettroni (Mathworld dice che e' irrisolto...)?
E anche la disposizione a 8 elettroni mi sorprende un po'. Una riconferma che in matematica e fisica NON si tira ad indovinare... :oops:
La teoria VSEPR ci dice la disposizione piu' stabile dei doppietti elettronici attorno ad un atomo, ma ripensandoci l'analogia potrebbe non funzionare perche' la VSEPR viene fuori dalla meccanica quantistica mentre il problema degli elettroni sulla sfere e' di meccanica classica. Nessuno mi confronta il caso n=5 per vedere se viene uguale?

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