La mia prof mi ha chiesto un approfondimento sulla relatività ristretta, ma malgrado io ci abbia sbattuto la testa a lungo non riesco a ricavare la formula della velocità relativa tra due oggetti p1 e p2 aventi velocità rispettivamente v1 e v2 rispetto a p0. Chiunque posti la formula con dimostrazione, o un link corrispondente, mi farebbe un grande favore.
(ho già aquisito le formule di dilatazione del tempo e contrazione dele lunghezze, ma malgrao ciò non riesco ad andare oltre).
Dubbio sulla relatività
Supponiamo che il la velocità ($ v $) del sistema di riferimento sia tutta sulle $ x $. Allora si ha:
$ \displaystyle v_x = {dx \over dt} = {dx' + \beta c dt' \over dt' + {\beta \over c}dx'} = {{dx' \over dt'} + \beta c \over 1 + {\beta \over c} \cdot {dx' \over dt'}} $
quindi
$ \displaystyle v_x = {v_x' + \beta c \over 1 + {\beta \over c}v_x'} = {v_x' + v \over 1 + {v\cdot v_x' \over c^2}} $
Sulle altre componenti è uguale, solo che abbiamo $ (y, z) = (y', z') $. Quindi sparisce qualche termine (e appare però il $ \gamma $ di dilatazione del tempo):
$ \displaystyle v_{y,z} = {v_{y,z}' \over {\gamma \left(1 + {v \cdot v_x \over c^2} \right)}} $
$ \displaystyle v_x = {dx \over dt} = {dx' + \beta c dt' \over dt' + {\beta \over c}dx'} = {{dx' \over dt'} + \beta c \over 1 + {\beta \over c} \cdot {dx' \over dt'}} $
quindi
$ \displaystyle v_x = {v_x' + \beta c \over 1 + {\beta \over c}v_x'} = {v_x' + v \over 1 + {v\cdot v_x' \over c^2}} $
Sulle altre componenti è uguale, solo che abbiamo $ (y, z) = (y', z') $. Quindi sparisce qualche termine (e appare però il $ \gamma $ di dilatazione del tempo):
$ \displaystyle v_{y,z} = {v_{y,z}' \over {\gamma \left(1 + {v \cdot v_x \over c^2} \right)}} $
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
Per semplicita' di scrittura poniamo:
$ \gamma = \frac{1}{\sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}}} $
Per note formule si ha:
$ x =\gamma (x' + vt'), t =\gamma (t' + \frac{v}{{c^2 }}x') $
Da cui differenziando:
$ dx=\gamma (dx' + v.dt') \\ dt = \gamma (dt' + \frac{v}{{c^2 }}.dx') $
E dividendo membro a membro le due ultime formule:
$ \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{\gamma (dx' + v.dt')}}{{\gamma (dt' + \frac{v}{{c^2 }}.dx')}} = \frac{{dx' + v.dt'}}{{dt' + \frac{v}{{c^2 }}.dx'}} = \frac{{\frac{{dx'}}{{dt'}} + v}}{{1 + \frac{v}{{c^2 }}\frac{{dx'}}{{dt'}}}} \\ v_x = \frac{{v'_x + v}}{{1 + \frac{v}{{c^2 }}v_x '}} $
$ \gamma = \frac{1}{\sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}}} $
Per note formule si ha:
$ x =\gamma (x' + vt'), t =\gamma (t' + \frac{v}{{c^2 }}x') $
Da cui differenziando:
$ dx=\gamma (dx' + v.dt') \\ dt = \gamma (dt' + \frac{v}{{c^2 }}.dx') $
E dividendo membro a membro le due ultime formule:
$ \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{\gamma (dx' + v.dt')}}{{\gamma (dt' + \frac{v}{{c^2 }}.dx')}} = \frac{{dx' + v.dt'}}{{dt' + \frac{v}{{c^2 }}.dx'}} = \frac{{\frac{{dx'}}{{dt'}} + v}}{{1 + \frac{v}{{c^2 }}\frac{{dx'}}{{dt'}}}} \\ v_x = \frac{{v'_x + v}}{{1 + \frac{v}{{c^2 }}v_x '}} $